Dwa miasta łączy linia kolejowa o długości \(336\) kilometrów. Pierwszy pociąg przebył tę drogę w czasie o \(40\) minut krótszym niż drugi pociąg. Średnia prędkość pierwszego pociągu na tej trasie była o \(9km/h\) większa od średniej prędkości drugiego pociągu. Oblicz średnią prędkość każdego z tych pociągów na tej trasie.
\(t\) – czas jazdy pierwszego pociągu
\(v\) – prędkość jazdy pierwszego pociągu
\(t+\frac{2}{3}h\) – czas jazdy drugiego pociągu (dodajemy \(\frac{2}{3}\), bo \(40\) minut to \(\frac{2}{3}\) godziny. Gdybyśmy zapisali to jako \(t+40min\) to potem nie moglibyśmy się posługiwać jednostkami \(\frac{km}{h}\))
\(v-9\frac{km}{h}\) – prędkość jazdy drugiego pociągu
\(s=336km\) – długość całej trasy
Skorzystamy tutaj ze wzoru na drogę \(s=v\cdot t\). Podstawiając do niego nasze dane wypisane w pierwszym otrzymamy następujący układ równań:
\begin{cases}
vt=336 \\
(v-9)(t+\frac{2}{3})=336
\end{cases}\begin{cases}
t=\frac{336}{v} \\
vt+\frac{2}{3}v-9t-6=336
\end{cases}
Po podstawieniu wartości \(t\) z pierwszego równania do drugiego otrzymamy:
$$\require{cancel}
v\cdot\frac{336}{v}+\frac{2}{3}v-9\cdot\frac{336}{v}-6=336 \\
\cancel{336}+\frac{2}{3}v-\frac{3024}{v}-6=\cancel{336} \\
\frac{2}{3}v-\frac{3024}{v}-6=0 \quad\bigg/\cdot\frac{3}{2} \\
v-\frac{4536}{v}-9=0 \quad\bigg/\cdot v \\
v^2-9v-4536=0$$
Współczynniki: \(a=1,\;b=-9,\;c=-4536\)
$$Δ=b^2-4ac=(-9)^2-4\cdot1\cdot(-4536)=81+18144=18225 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{18225}=135$$
$$v_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-9)-135}{2\cdot1}=\frac{9-135}{2}=\frac{-126}{2}=-63 \\
v_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-9)+135}{2\cdot1}=\frac{9+135}{2}=\frac{144}{2}=72$$
Rozwiązanie ujemne wykluczamy, bo prędkość musi być dodatnia. To oznacza, że ostatecznym rozwiązaniem jest \(v=72\frac{km}{h}\).
Prędkość jazdy drugiego pociągu to:
$$v-9\frac{km}{h}=72\frac{km}{h}-9\frac{km}{h}=63\frac{km}{h}$$
Prędkość pierwszego pociągu to \(72\frac{km}{h}\), a drugiego to \(63\frac{km}{h}\).
