Dodawanie i odejmowanie potęg

Dodawanie potęg (podobnie jak odejmowanie) przysparza bardzo wielu problemów, więc spróbujmy wyjaśnić sobie wszelkie wątpliwości jakie mogą się nam przytrafić przy wykonywaniu tych działań.

Problem z dodawaniem potęg bierze się przede wszystkim z tego, że nie mamy żadnego wzoru czy też zasady, która dotyczyłaby tej operacji matematycznej (wzory na mnożenie i dzielenie potęg znajdziesz na dole tego wpisu). Zanim jednak przejdziemy do wyjaśnienia jak zachować się przy dodawaniu i odejmowaniu potęg odpowiedzmy sobie na bardzo proste pytanie: Ile wynosi suma dwóch niewiadomych \(x\)? Oczywiście jest to:

$$x+x=2x$$

Powyższe zadanie teoretycznie nie jest związane z potęgami, ale posłuży nam do zrozumienia czym tak naprawdę jest dodawanie i odejmowanie potęg. Spójrzmy na poniższy przykład:

Przykład 1. Jak obliczyć działanie \(5^2 + 5^2\)?

Korzystamy z przykładu, który obliczaliśmy przed chwilą, ale zamiast dodawać niewiadomą „\(x\)” podstawmy tam naszą liczbę w potędze, czyli \(5^2\). Co otrzymamy?
$$\text{Skoro }x+x=2x, \quad\text{to:}\\
5^2+5^2=2\cdot5^2$$

W tym momencie tak naprawdę można już powiedzieć, że wykonaliśmy poprawnie dodawanie dwóch potęg. Możemy jeszcze w miarę możliwości policzyć dokładny wynik takiego działania, choć zazwyczaj nie jest to konieczne (a czasem nawet nie jest wskazane).

Przykład 2. Spróbujmy teraz dodać do siebie \(2 \cdot 5^2 + 5^2\). Jak się do tego zabierzemy? Dokładnie tak samo, jak robiliśmy to powyżej:

$$\text{Skoro }2x+x=3x, \quad\text{to:}\\
2\cdot5^2+5^2=3\cdot5^2$$

I tutaj podobnie jak to miało miejsce w przykładzie pierwszym – często powyższy zapis będzie wystarczający (zwłaszcza jak wymagany będzie od nas wynik w postaci potęgi).

Podobnie jak dodawanie będziemy wykonywali odejmowanie potęg:

Przykład 3. Oblicz: \(4\cdot5^2-5^2\)

$$\text{Skoro }4x-x=3x, \quad\text{to:}\\
4\cdot5^2-5^2=3\cdot5^2$$

Generalnie zdecydowana większość zadań związanych z dodawaniem i odejmowaniem potęg z jakimi się spotkasz będzie częścią jakiegoś większego działania (np. rozbudowanego ułamka). W tego typu przypadkach prawie zawsze trzeba będzie pozostawiać liczby w formie potęgi i szukać jakichś zależności, które potem wynikną z mnożenia lub dzielenia potęg (przypominam Ci, że kreska ułamkowa jest tak naprawdę dzieleniem).

Czasem jednak Autorzy zadań stworzą przykład, w którym trzeba będzie zrobić jeden krok więcej niż robiliśmy to w przykładach 1-3. Spójrzmy na zadanie:

Przykład 4. Zapisz w postaci potęgi liczby \(2\) sumę \(2^3+2^3+2^3+2^3\).

Cały czas robimy analogicznie:
$$\text{Skoro }x+x+x+x=4x, \quad\text{to:} \\
2^3+2^3+2^3+2^3=4\cdot2^3$$

Ale to nie koniec, bo możemy ten końcowy zapis jeszcze uprościć, zamieniając liczbę \(4\) na \(2^2\), co pozwoli nam wykonać mnożenie potęg, spójrz:
$$4\cdot2^3=2^2\cdot2^3=2^{2+3}=2^5$$

Jeśli nie pamiętamy jak się mnożyło potęgi o tych samych podstawach (a ta wiedza nam się przed chwilą przydała), to zawsze możemy się uratować następującym zapisem:
$$2^2\cdot2^3=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=2^5$$

Przykład 5. Zapisz w jak najprostszej postaci wynik działania: \(5\cdot3^{100}-2\cdot3^{100}\).

Zadanie to wykorzystuje całą wiedzę, którą zdobyliśmy przed chwilą i jest bardzo zbliżone do zadania z przykładu czwartego.

Krok 1. Obliczamy różnicę:
$$5\cdot3^{100}-2\cdot3^{100}=3\cdot3^{100}$$

Krok 2. Zamieniamy \(3\) na zapis \(3^1\), czyli:
$$3\cdot3^{100}=3^1\cdot3^{100}$$

Krok 3. Wykonujemy mnożenie potęg o tej samej podstawie:
$$3^1\cdot3^{100}=3^{1+100}=3^{101}$$

Może się nam też przytrafić zadanie, w którym musimy dodać lub odjąć od siebie liczby, który mają identyczną podstawę potęgi, a różny wykładnik. Jak sobie z tym poradzić?

Przykład 6. Oblicz \(11^{32}-11^{30}\).

Gdybyśmy mieli tutaj mnożenie lub dzielenie, to sprawa byłaby bardzo prosta, bo dodalibyśmy lub odjęlibyśmy wykładnik potęgi. Ale co zrobić kiedy mamy odejmowanie (lub dodawanie)? Najlepszym wyjściem byłoby wyciągnięcie jednej z potęg przed nawias i zamienienie tego odejmowania na mnożenie:

$$11^{32}-11^{30}=11^{30}\cdot(11^2 – 1)$$

Ewentualnie można jeszcze obliczyć wartość w nawiasie i całość zapisać już jako:
$$11^{30}\cdot(11^2 – 1)=11^{30}\cdot(121-1)=11^{30}\cdot 120$$

Tego typu przykład jest prawdopodobnie częścią jakiegoś większego działania, gdzie coś się ze sobą skróci, dlatego też musimy przeanalizować do której z form powinniśmy dążyć.

Pamiętaj! Dodawanie i odejmowanie potęg nie jest proste i bardzo często wymaga przeanalizowania konkretnego przykładu w którym się pojawia. Staraj się dążyć do upraszczania zapisów, wyłączania liczb przed nawias i ewentualnego skracania poszczególnych wartości.
Nie myl dodawania i odejmowania potęg z mnożeniem i dzieleniem!
$$15^7+15^7=2\cdot15^7 \\
15^7\cdot15^7=15^{7+7}=15^{14}$$

Poniżej znajdziesz omówienie mnożenia i dzielenia potęg, które są dużo prostszymi działaniami:

Zobacz także: Mnożenie potęg
Zobacz także: Dzielenie potęg

22
Dodaj komentarz

Martunia

nareszcie ktoś mi to wytłumaczył :) wielkie dzięki teraz już rozumiem że źle wszystko robiłam bo myliłam zasady dodawania potęg z ich mnożeniem

Jonathan Kapusta

dobreee

uczeń

A jak zrobić np. 11^32 – 11^30?

Anonim

Strasnzie pomieszane.. nie wystarczy normalnie podac definicji?!

betts

Jak ktoś chce się uczyć matematyki tylko z definicji to powodzenia życzę. Ja tam wolę dany materiał zrozumieć a nie wykuć, dlatego mi taka forma jak jest tutaj bardzo odpowiada.

Wiktoria

Chyba w końcu to rozumiem, na całe szczęście, bo jutro mam z tego kartkówkę i z pierwiastków jeszcze ;-;
Mega, ale przydałyby się jakieś przykłady do samodzielnego liczenia i gdzieś tam dalej odpowiedzi np. zrobiłabym powiedzmy źle przykład to czytam znowu co jest napisane i próbuję aż do skutku – poprawnego wyniku.

Anonim

Szalone liczby, wow trafiłem na tego bloga bo szukałem ćwiczeń do potęg i tak czytam komentarze i mówisz że nie długo dodasz do gimnazjum, patrzę – nie ma no to myślę, iż pewnie blog sprzed nastu lat i nigdy się nie doczekam a tu niespodzianka komentarz z 9.10 :O mam nadzieję że ćwiczenia zostaną dodane blog jest pisany świetnie widać że nie kopia podręcznika i życzę powodzenia :D
P.S. tak, wiem, moja wypowiedź jest chaotyczna

jejeje

piszę na gorąco po teście i chce powiedzieć ogromne DZIĘKIII ! sporo z tego powtórzyło się u mnie w rzędzie i dokładnie tak jak tu rozpisałam sobie każdy przykład

Anonim

Dlaczego w przypadeku odejmowania kiedy zamieniamy na mnożenie to odejmujemy 1?

Kosmita

A jak przykład to 3,7 x 10^5 + 5,2 x 10^4?
Albo jak przykład to 3,7 x 10^5 – 5,2 x 10^4?

Anonim

A np.: -(-1/2)^3 + (1/2)^2 to co mamy zrobić ?

tak

11^32−11^30=11^30⋅(11^2–1) skąd tu jest 1 ?