Dodawanie potęg (podobnie jak odejmowanie) przysparza bardzo wielu problemów, więc spróbujmy wyjaśnić sobie wszelkie wątpliwości jakie mogą się nam przytrafić przy wykonywaniu tych działań.
Problem z dodawaniem potęg bierze się przede wszystkim z tego, że nie mamy żadnego wzoru czy też zasady, która dotyczyłaby tej operacji matematycznej (wzory na mnożenie i dzielenie potęg znajdziesz na dole tego wpisu). Zanim jednak przejdziemy do wyjaśnienia jak zachować się przy dodawaniu i odejmowaniu potęg odpowiedzmy sobie na bardzo proste pytanie: Ile wynosi suma dwóch niewiadomych \(x\)? Oczywiście jest to:
$$x+x=2x$$
Powyższe zadanie teoretycznie nie jest związane z potęgami, ale posłuży nam do zrozumienia czym tak naprawdę jest dodawanie i odejmowanie potęg. Spójrzmy na poniższy przykład:
Korzystamy z przykładu, który obliczaliśmy przed chwilą, ale zamiast dodawać niewiadomą „\(x\)” podstawmy tam naszą liczbę w potędze, czyli \(5^2\). Co otrzymamy?
$$\text{Skoro }x+x=2x, \quad\text{to:}\\
5^2+5^2=2\cdot5^2$$
W tym momencie tak naprawdę można już powiedzieć, że wykonaliśmy poprawnie dodawanie dwóch potęg. Możemy jeszcze w miarę możliwości policzyć dokładny wynik takiego działania, choć zazwyczaj nie jest to konieczne (a czasem nawet nie jest wskazane).
$$\text{Skoro }2x+x=3x, \quad\text{to:}\\
2\cdot5^2+5^2=3\cdot5^2$$
I tutaj podobnie jak to miało miejsce w przykładzie pierwszym – często powyższy zapis będzie wystarczający (zwłaszcza jak wymagany będzie od nas wynik w postaci potęgi).
Podobnie jak dodawanie będziemy wykonywali odejmowanie potęg:
$$\text{Skoro }4x-x=3x, \quad\text{to:}\\
4\cdot5^2-5^2=3\cdot5^2$$
Czasem jednak Autorzy zadań stworzą przykład, w którym trzeba będzie zrobić jeden krok więcej niż robiliśmy to w przykładach 1-3. Spójrzmy na zadanie:
Cały czas robimy analogicznie:
$$\text{Skoro }x+x+x+x=4x, \quad\text{to:} \\
2^3+2^3+2^3+2^3=4\cdot2^3$$
Ale to nie koniec, bo możemy ten końcowy zapis jeszcze uprościć, zamieniając liczbę \(4\) na \(2^2\), co pozwoli nam wykonać mnożenie potęg, spójrz:
$$4\cdot2^3=2^2\cdot2^3=2^{2+3}=2^5$$
Jeśli nie pamiętamy jak się mnożyło potęgi o tych samych podstawach (a ta wiedza nam się przed chwilą przydała), to zawsze możemy się uratować następującym zapisem:
$$2^2\cdot2^3=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=2^5$$
Zadanie to wykorzystuje całą wiedzę, którą zdobyliśmy przed chwilą i jest bardzo zbliżone do zadania z przykładu czwartego.
Krok 1. Obliczamy różnicę:
$$5\cdot3^{100}-2\cdot3^{100}=3\cdot3^{100}$$
Krok 2. Zamieniamy \(3\) na zapis \(3^1\), czyli:
$$3\cdot3^{100}=3^1\cdot3^{100}$$
Krok 3. Wykonujemy mnożenie potęg o tej samej podstawie:
$$3^1\cdot3^{100}=3^{1+100}=3^{101}$$
Może się nam też przytrafić zadanie, w którym musimy dodać lub odjąć od siebie liczby, który mają identyczną podstawę potęgi, a różny wykładnik. Jak sobie z tym poradzić?
Gdybyśmy mieli tutaj mnożenie lub dzielenie, to sprawa byłaby bardzo prosta, bo dodalibyśmy lub odjęlibyśmy wykładnik potęgi. Ale co zrobić kiedy mamy odejmowanie (lub dodawanie)? Najlepszym wyjściem byłoby wyciągnięcie jednej z potęg przed nawias i zamienienie tego odejmowania na mnożenie:
$$11^{32}-11^{30}=11^{30}\cdot(11^2 – 1)$$
Ewentualnie można jeszcze obliczyć wartość w nawiasie i całość zapisać już jako:
$$11^{30}\cdot(11^2 – 1)=11^{30}\cdot(121-1)=11^{30}\cdot 120$$
Tego typu przykład jest prawdopodobnie częścią jakiegoś większego działania, gdzie coś się ze sobą skróci, dlatego też musimy przeanalizować do której z form powinniśmy dążyć.
$$15^7+15^7=2\cdot15^7 \\
15^7\cdot15^7=15^{7+7}=15^{14}$$
Poniżej znajdziesz omówienie mnożenia i dzielenia potęg, które są dużo prostszymi działaniami:
nareszcie ktoś mi to wytłumaczył :) wielkie dzięki teraz już rozumiem że źle wszystko robiłam bo myliłam zasady dodawania potęg z ich mnożeniem
dobreee
A jak zrobić np. 11^32 – 11^30?
Jesteś pewny, że w tym działaniu jest odejmowanie? Gdyby było tam dzielenie, to korzystając z zasad przy dzieleniu potęg otrzymalibyśmy wynik 11^2=121 :)
Jeśli tam jest faktycznie odejmowanie to w takim przypadku najlepiej jest chyba pokombinować z zamianą tego odejmowania na następujące mnożenie:
11^32-11^30=11^30*(11^2 – 1)=11^30*120
Prawdopodobnie jest to jakaś część większego działania i w tym momencie coś się ze sobą skrócić, otwierając nam prostą drogę do wyniku :)
Tak pomyślałem, że warto zrobić pełne omówienie Twojego przykładu, bo jest rzeczywiście dość specyficzny, więc dodałem go do głównego tekstu :) Pozdrawiam!
To będzie 11^2×11^30 – 11^30=
11^30(11^2 – 11^0)=11^30×120
Strasnzie pomieszane.. nie wystarczy normalnie podac definicji?!
Nie można podać ani definicji, ani wzoru, bo na dodawanie i odejmowanie potęg po prostu takich nie ma. Wzory i definicje można podać za to na mnożenie lub dzielenie (i są one podane w odpowiednich tematach). Dlatego też temat ten jest dość trudny, bo wymaga od nas przeanalizowania sytuacji, a nie podstawienia liczb do jakiegoś wzoru. Poza tym istotą tej strony nie jest powielanie regułek, bo te znajdziesz wszędzie, a potem o nich zapomnisz (o czym świadczy chociażby fakt, że szukałeś/aś pomocy w Internecie). Istotne tutaj jest to, żeby pokazać skąd to wszystko się bierze i jak do tego wszystkiego… Czytaj więcej »
mi się podoba bo wszystko opisane jest bardzo dobrze i w końcu nie są to suche fakty żywcem wyciągniete z podrecznika tylko w sposób zrozumiały przedstawiony temat
Jak ktoś chce się uczyć matematyki tylko z definicji to powodzenia życzę. Ja tam wolę dany materiał zrozumieć a nie wykuć, dlatego mi taka forma jak jest tutaj bardzo odpowiada.
Chyba w końcu to rozumiem, na całe szczęście, bo jutro mam z tego kartkówkę i z pierwiastków jeszcze ;-;
Mega, ale przydałyby się jakieś przykłady do samodzielnego liczenia i gdzieś tam dalej odpowiedzi np. zrobiłabym powiedzmy źle przykład to czytam znowu co jest napisane i próbuję aż do skutku – poprawnego wyniku.
Wielkie dzięki za miłe słowa! Odnośnie Twojej prośby to mam dobrą wiadomość – właśnie pracuję nad gigantyczną bazą ćwiczeń dla uczniów gimnazjum i tam temat działań na potęgach będzie oczywiście uwzględniony. Niedawno dodałem na stronę kilkaset(!) ćwiczeń dla uczniów szkół podstawowych (można je znaleźć w menu na górze strony) i dopiero od kilku tygodni programuję ćwiczenia dla gimnazjum, stąd też jeszcze trochę czasu na to potrzebuję :)
Trzymam kciuki i życzę powodzenia na kartkówce!
Szalone liczby, wow trafiłem na tego bloga bo szukałem ćwiczeń do potęg i tak czytam komentarze i mówisz że nie długo dodasz do gimnazjum, patrzę – nie ma no to myślę, iż pewnie blog sprzed nastu lat i nigdy się nie doczekam a tu niespodzianka komentarz z 9.10 :O mam nadzieję że ćwiczenia zostaną dodane blog jest pisany świetnie widać że nie kopia podręcznika i życzę powodzenia :D
P.S. tak, wiem, moja wypowiedź jest chaotyczna
Witaj! Nawet nie wiesz jak miło mi czytać takie komentarze, to naprawdę daje całą masę pozytywnej energii do dalszego działania :) Tak jak mówisz – wszystkie treści staram się prezentować najdokładniej jak się tylko da, co niestety jest czasochłonne. Ale wolę robić to powoli krok po kroku, niż na szybko tworzyć coś, co będzie powieleniem tego co już jest w sieci i w podręcznikach. Ćwiczenia dla gimnazjum będą dosłownie na dniach (już je opracowałem i zaprogramowałem, chcę je jeszcze przetestować). Myślę, że już w przyszłym tygodniu pojawi się zakładka Gimnazjum, a w niej będzie około 50 ćwiczeń przygotowanych specjalnie dla… Czytaj więcej »
piszę na gorąco po teście i chce powiedzieć ogromne DZIĘKIII ! sporo z tego powtórzyło się u mnie w rzędzie i dokładnie tak jak tu rozpisałam sobie każdy przykład
Dlaczego w przypadeku odejmowania kiedy zamieniamy na mnożenie to odejmujemy 1?
Domyślam się, że pytanie dotyczy Przykładu 6. Chodzi o to, by zapisać to odejmowanie (lub dodawanie) w formie mnożenia, wyłączając jakąś wspólną część przed nawias. Mając takie odejmowanie (lub dodawanie) np. w dużym ułamku zazwyczaj nie jesteśmy w stanie nic sensownego z nim zrobić. Dlatego też dążymy do tego mnożenia, bo przy mnożeniu (lub dzieleniu) potęg mamy znacznie więcej możliwości jeśli chodzi o skracanie lub upraszczanie działań. Ta jedynka pojawiła się dlatego, że 11^30 • 1 = 11^30. Dzięki temu wymnażając 11^30 przez wartość w nawiasie (pamiętając o minusie, który się tam znalazł) otrzymamy 11^32-11^30. Oczywiście gdyby było 11^32+11^30 to… Czytaj więcej »
A jak przykład to 3,7 x 10^5 + 5,2 x 10^4?
Albo jak przykład to 3,7 x 10^5 – 5,2 x 10^4?
W tym konkretnym przypadku, to tak prawdę mówiąc stosowanie potęg jest sztuką dla samej sztuki ;) 10^5 to raptem 100 000, natomiast 10^4 to 10 000, więc gdybym ja dostał takie zadanie, to w ogóle bym nie kombinował z potęgami (zwłaszcza że łatwo o pomyłkę), tylko zapisałbym to jako: a) 370 000+52 000=422 000 b) 370 000-52 000=318 000 Ale ja to ja, pewnie w szkole by to nie przeszło ;) Gdyby chcieć to zadanie rozwiązać tak jak chcą tego w szkole, albo gdyby to były jednak większe liczby, to całość najprościej byłoby doprowadzić do sytuacji w której da się… Czytaj więcej »
A np.: -(-1/2)^3 + (1/2)^2 to co mamy zrobić ?
Tutaj żadnej pułapki nie ma, można to obliczyć standardowo :) Najpierw podniesiemy do potęgi trzeciej pierwszy ułamek, potem potęgujemy drugi ułamek i dodajemy do siebie te dwie liczby. (-1/2)^3 to -1/8, natomiast (1/2)^2 to 1/4, zatem cały zapis (z uwzględnieniem tego minusa na początku) wyglądać będzie następująco:
-(-1/2)^3 + (1/2)^2 =
-(-1/8) + 1/4 =
1/8 + 1/4 = 3/8
11^32−11^30=11^30⋅(11^2–1) skąd tu jest 1 ?
A wymnóż to co jest przed nawiasem z tym co jest w nawiasie i zobacz co uzyskasz :)
To jest po prostu tak zwane wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias.
Dalej nie rozumiem jak odejmować lub dodawać potęgi o tych samych podstawach i różnych potęgach, czemu nagle z 11^32 – 11^30 zrobiło się wam 11^30 * (11^2 – 1)? O co tu chodzi, jutro mam kartkówkę a nie czaje tego ;_;
Dosłownie komentarz wyżej masz odpowiedź na swoje pytanie ;) Może dla jeszcze lepszego zobrazowania rozpiszę to tak:
11^32=11^30 * 11^2
11^30=11^30 * 1
Zatem:
11^32-11^30=11^30 * 11^2 – 11^30 * 1 i teraz wyłączamy 11^30 przed nawias, czyli to jest równe 11^30 * (11^2-1).
Bardzo dobrze wytłumaczone :)
Dlaczego nie ma przykładu działania przy różnych postawach np. 4^5 – 1^3??
W podanym przez Ciebie przykładzie nic więcej nie da się wykombinować. Możemy tylko oddzielnie obliczyć ile to jest 4^5 i ile to jest 1^3. Tutaj żadnych regułek, czy uproszczeń nie zastosujemy.
4^5-1^3=1024-1=1023
Ja nadal nie rozumiem jak obliczyć np. 2^2+2^3+2^4, nie chodzi mi o dokładny wynik (są to małe liczby) ale wynik w postaci potęgi liczby 2.
To jest analogiczny przykład do tego z odejmowaniem 11^32-11^30, tylko że tutaj masz dodawanie :) Musimy wyłączyć wspólny czynnik przed nawias. Powinniśmy dostrzec, że z każdej liczby jaką mamy w tym działaniu dałoby się wyłączyć przed nawias wartość 2^2, bo:
2^2=2^2•1
2^3=2^2•2^1=2^2•2
2^4=2^2•2^2=2^2•4
Każdą potęgę zamieniłem na 2^2 razy jakaś liczba.
No i teraz możemy już rozpisać, że:
2^2+2^3+2^4=2^2•1+2^2•2+2^2•4=2^2•(1+2+4)=4•7=28
Mam nadzieję, że teraz jest już nieco jaśniej ;)
Nadal nie rozumiem skąd się bierze liczba w nawiasie np. mam w ćwiczeniu 5^27-5^26 i W jaki sposób mam wiedzieć co wstawić w nawias
To może po kolei ;)
Z działań na potęgach wiemy, że taką liczbę jak 5^27 możemy rozpisać na wiele sposobów, przykładowo:
5^27=5^26*5^1, czyli 5^26*5
5^27=5^20*5^7
5^27=5^14*5^13
itd.
Tu teraz nie tyle chodzi o to „co wstawić w nawias”, co bardziej chodzi o to co można przed nawias wyłączyć! Zazwyczaj dążymy do tego, by przed nawias wyłączyć jak największą liczbę. Jeżeli 5^27=5^26*5 oraz 5^26=5^26*1 to moglibyśmy przed nawias wyłączyć 5^26, otrzymując:
5^27-5^26=5^26*(5-1)=5^26*4
Oczywiście to nie jest jedyny sposób na wyłączenie czynnika przed nawias, choć takie jest zazwyczaj najbardziej pożądane.
Przepraszam, ale nie za bardzo zrozumiałam ten temat, w dodatku mam zadanie, które nijak nie pasuje do wcześniejszych tłumaczeń…
Czy moglibyście mi wytłumaczyć jak mam zrobić działanie 4^12+4^13+4^14?
W każdym temacie podaję przykładowe zadanka, nie mam szans odgadnąć każdej możliwej kombinacji ;) Z tego co się domyślam, to masz na myśli jedno z zadań maturalnych w którym wystąpiło kiedyś działanie 4^12+4^13+4^14, ale to zadanie nie polegało na wykonaniu tego dodawania, tylko na sprytnym wyłączeniu 4^11, co pozwalało później udowodnić, że liczba jest podzielna przez 42 ;)
Gdyby chcieć jednak dodać te potęgi, no to trzeba byłoby to zrobić tak jak przykład 11^32-11^30, czyli np.:
4^12+4^13+4^14=4^12*(1+4^1+4^2)=4^12*(1+4+16)=4^12*21
Proszę Pani, byłem, zobaczyłem, zrozumiałem. Bartoszek.
Mam takie pytanie czy można rozwiązać takie działanie:
4 do potęgi 3 × 2 do potęgi 2
To przykładowe działanie tylko chodzi mi o to czy można wykonać działanie gdzie jest inny wykładnik i inna podstawa potęgi?
W takim przypadku musisz rozbić czwórkę na 2^2. Otrzymasz wtedy coś takiego:
(2^2)^3 razy 2^2
(2^2)^3 to jest 2^6 (bo przy potęgowaniu potęg mnożymy wykładniki), czyli otrzymamy:
2^6 razy 2^2, a to będzie równe 2^8 :)
A można tak? 4^3×2^2=4^3×4^1=4^4 wychodzi ten sam wynik
Tak, jest to również dobry sposób :) Aczkolwiek zauważ, że gdyby tam było np. 2^5 zamiast 2^2 (czyli gdyby wykładnik potęgi był nieparzysty) to trudno by Ci było w ten sposób to wszystko przekształcić. Dlatego zazwyczaj staramy się sprowadzać liczby do mniejszej podstawy (czyli do tutaj do 2), a nie większej (czyli do 4) ;)
Dziękuję
A co z przypadkiem gdzie są różne podstawy ale te same wykładniki?
Musiałbym zobaczyć konkretny przykład :) Być może da się sprowadzić te potęgi do jednakowej podstawy? :)
Dziękuję! :) łatwiej mi zrozumieć matematykę w szkole językowej
Witam. Mam pytanie . Dodawanie i odejmowanie o tych samych potęgach rozumiem , ale jak rozwiązywać działania o różnych potęgach i różnych wykładnikach
Wszystko zależy od przykładu ;) Musiałbyś konkretniej dopytać :)
Dzięki za wytłumaczenie! Bardzo mi to pomogło
dziękuję bardzo za wytłumaczenie
4^10 + 4^11 + 4^12 + 4^13= 4^10 (1 + 4 + 16 + 64)= 4^10 *85= 4^10 * 5*17
Pytanie czy to jest dobrze rozwiązane działanie – Dodawanie potęg o tej samej podstawie.
Jak rozumieć ta liczbę 17. Pozdrawiam.
Tak, to jest dobre rozwiązanie :) Co do zapisu, to zazwyczaj wystarczy postać 4^{10} razy 85 i na tym możemy zakończyć. Nie musisz już rozbijać tej liczby 85 jako 5*17, no chyba, że zadanie tego wymaga. A kiedy może to być wymagane? Np. zadanie mogłoby polegać na udowodnieniu, że ta liczba jest podzielna przez 17. Gdyby tak było, to rozbicie 85 na 5*17 ładnie pokazuje, że liczba faktycznie jest podzielna przez 17.
Naprawdę super, ale nie rozumiem przykładu 5 a dokładnie po obliczeniu różnicy to gdzie i jak uciekło nam jedno 3^100? Bo na początku mamy dwie identyczne liczby czyli 3^100 a po obliczeniu różnicy znika nam jedno 3^100.
Ale nic tam nie uciekło ;) Wyobraź sobie, że 3^100 to jest „jabłko”. Tak jak 5 jabłek odjąć 2 jabłka to 3 jabłka, tak 5*3^100 odjąć 2*3^100 daje 3*3^100 :)
Mam pytanie jak obliczyć 3^5 – 3^3?
Przecież jest tutaj podany niemalże identyczny przykład :)
3^5-3^3=3^3*(3^2-1)=3^3*(9-1)=3^3*8=27*8=216
Super wytłumaczone!
Ale nie mogę ogarnąć jak np zrobić, gdy są różne podstawy a jednakowe wykładniki, np. 3⁷+4⁷
Jeśli tam jest faktycznie dodawanie, to z takim przykładem już nic za bardzo nie zrobimy ;)
Mam pytanko. Czy te sposoby działają zawsze czy są może jakieś wyjatki.
Generalnie to działają zawsze, to standardowe zasady działań na potęgach ;)
A czy gdy 10^50+10^50+10^50 zamienimy na 3×10^50 to czy da się coś z tym jeszcze zrobić
Raczej nie, taka postać jest wystarczająca ;)
Świetnie to wszystko jest rozpisane. Na początku gdy mama mi tą stronę pokazała, myślałam że to będzie kolejna nudna strona z wzorami matematycznymi. Ale jak zobaczyłam że tu jest tak fajnie wszystko wyjaśnione krok po kroku to od razu zachciało mi się tego uczyć. Rozumiem więcej niż na lekcjach i już mam opanowane podstawy do następnej szkoły. Super! Pozdrawiam twórcę z całego serca i oby strona się rozwijała dalej!❤️❤️❤️
Dziękuję za miłe słowa no i koniecznie musisz pozdrowić mamę! :)
2^6+2^7 bez obliczania potęg to ile?
To można rozpisać na różne sposoby, wszystko zależy od tego co chcemy osiągnąć ;) Pewnie chodzi o to, by 2^7 rozbić na mnożenie 2 razy 2^6 i wtedy mamy 2^6 plus 2*2^6, co dałoby wynik 3*2^6 :)