Do okręgu o środku w punkcie O poprowadzono z trzech punktów A, B i C leżących na okręgu styczne

Do okręgu o środku w punkcie \(O\) poprowadzono z trzech punktów \(A\), \(B\) i \(C\) leżących na okręgu styczne, które przecięły się w punktach \(D\), \(E\) i \(F\) (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli \(|AF|=x\), to obwód trójkąta \(DEF\) jest równy \(2x\).

matura z matematyki

Rozwiązanie

Krok 1. Dostrzeżenie odcinków o jednakowej długości.
Z własności stycznych do okręgu powinniśmy zauważyć trzy pary boków o identycznych miarach:
$$|DC|=|AD| \\
|CE|=|BE| \\
|AF|=|BF|$$

Krok 2. Rozpisanie długości obwodu trójkąta.
Patrząc się na rysunek możemy zapisać, że obwód trójkąta będzie równy:
$$Obw=|EF|+|DF|+|DC|+|CE|$$

W pierwszym kroku zapisaliśmy sobie, że odcinek \(DC\) ma taką samą miarę jak odcinek \(AD\) oraz że odcinek \(CE\) ma taką samą miarę jak odcinek \(BE\). Podmieniając te dwa odcinki w naszym powyższym zapisie otrzymamy:
$$Obw=\color{green}{|EF|}+\color{blue}{|DF|+|AD|}+\color{green}{|BE|}$$

Teraz spójrzmy na nasze działanie. Z treści zadania wynika, że odcinek \(AF\) ma długość \(x\), a na odcinek \(AF\) składa się suma \(\color{blue}{|AD|+|DF|}\). Podobnie jest z odcinkiem \(BF\) na którego składa się suma \(\color{green}{|BE|+|EF|}\). To by oznaczało, że:
$$Obw=|AF|+|BF| \\
Obw=x+x \\
Obw=2x$$

Otrzymaliśmy oczekiwaną wartość, zatem dowodzenie można uznać za zakończone.

Odpowiedź

Udowodniono korzystając z własności stycznych do okręgu.

Dodaj komentarz