Do okręgu o środku w punkcie O poprowadzono z trzech punktów A, B i C leżących na okręgu styczne

Do okręgu o środku w punkcie $O$ poprowadzono z trzech punktów $A$, $B$ i $C$ leżących na okręgu styczne, które przecięły się w punktach $D$, $E$ i $F$ (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli $|AF|=x$, to obwód trójkąta $DEF$ jest równy $2x$.

Rozwiązanie

Krok 1. Dostrzeżenie odcinków o jednakowej długości.
Z własności stycznych do okręgu powinniśmy zauważyć trzy pary boków o identycznych miarach:
$$|DC|=|AD| \\
|CE|=|BE| \\
|AF|=|BF|$$

Krok 2. Rozpisanie długości obwodu trójkąta.
Patrząc się na rysunek możemy zapisać, że obwód trójkąta będzie równy:
$$Obw=|EF|+|DF|+|DC|+|CE|$$

W pierwszym kroku zapisaliśmy sobie, że odcinek $DC$ ma taką samą miarę jak odcinek $AD$ oraz że odcinek $CE$ ma taką samą miarę jak odcinek $BE$. Podmieniając te dwa odcinki w naszym powyższym zapisie otrzymamy:
$$Obw=\color{green}{|EF|}+\color{blue}{|DF|+|AD|}+\color{green}{|BE|}$$

Teraz spójrzmy na nasze działanie. Z treści zadania wynika, że odcinek $AF$ ma długość $x$, a na odcinek $AF$ składa się suma $\color{blue}{|AD|+|DF|}$. Podobnie jest z odcinkiem $BF$ na którego składa się suma $\color{green}{|BE|+|EF|}$. To by oznaczało, że:
$$Obw=|AF|+|BF| \\
Obw=x+x \\
Obw=2x$$

Otrzymaliśmy oczekiwaną wartość, zatem dowodzenie można uznać za zakończone.

Odpowiedź

Udowodniono korzystając z własności stycznych do okręgu.

Zadania

Do okręgu o środku w punkcie O poprowadzono z trzech punktów A, B i C leżących na okręgu styczne

Do okręgu o środku w punkcie \(O\) poprowadzono z trzech punktów \(A\), \(B\) i \(C\) leżących na okręgu styczne, które przecięły się w punktach \(D\), \(E\) i \(F\) (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli \(|AF|=x\), to obwód trójkąta \(DEF\) jest równy \(2x\).