Długości boków czworokąta opisano za pomocą wyrażeń algebraicznych

Długości boków czworokąta opisano za pomocą wyrażeń algebraicznych, tak jak pokazano na rysunku.

egzamin ósmoklasisty



Uzasadnij, że jeśli obwód tego czworokąta jest równy \(100cm\), to jest on rombem.

Rozwiązanie

Krok 1. Analiza treści zadania.
Zastanówmy się co tak naprawdę musimy udowodnić i w jaki sposób możemy to zrobić. Naszym zadaniem jest udowodnienie, że gdy obwód tej figury jest równy \(100cm\), to figura jest rombem - czyli krótko mówiąc, jest czworokątem który ma wszystkie boki równej długości. Spróbujmy więc sprawdzić jaka jest wartość niewiadomej \(x\), gdy obwód tej figury jest równy \(100cm\). Poznanie tej wartości \(x\) pozwoli nam w dalszych krokach obliczyć długość każdego z boków.

Krok 2. Obliczenie wartości \(x\).
Jeżeli zsumujemy długości wszystkich boków i zapiszemy, że obwód jest równy \(100cm\), to otrzymamy następujące równanie:
$$\left(\frac{1}{2}x+15\right)+\left(\frac{3}{2}x-5\right)+(x+5)+(2x-15)=100$$

Oczywiście nie ma potrzeby zapisywania tych wszystkich nawiasów, ale warto to zrobić by się nie pogubić w całym zapisie. Spróbujmy teraz rozwiązać nasze równanie. Zwróć uwagę, że tak naprawdę wartości liczbowe nam się skrócą, bo raz mamy \(+15\), potem \(-15\), raz mamy \(-5\), potem \(5\). Całość będzie więc wyglądać następująco:
$$\frac{1}{2}x+15+\frac{3}{2}x-5+x+5+2x-15=100 \\
5x=100 \\
x=20[cm]$$

Krok 3. Obliczenie długości każdego z boków czworokąta.
Podstawmy teraz do każdego z wyrażeń wartość \(x=20\). Zaczynając od dolnego boku:
I bok: \(\frac{1}{2}\cdot20+15=10+15=25[cm]\)
II bok: \(\frac{3}{2}\cdot20-5=30-5=25[cm]\)
III bok: \(20+5=25[cm]\)
IV bok: \(2\cdot20-15=40-15=25[cm]\)

Krok 4. Zakończenie dowodzenia.
Wyszło nam, że gdy obwód tego czworokąta jest równy \(100cm\), to każdy z boków ma długość \(25cm\). To oznacza, że nasza figura jest faktycznie rombem, a to właśnie należało udowodnić.

A tak na marginesie - czy mamy pewność, że ta figura jest przy okazji kwadratem, skoro ma wszystkie boki równej długości? A no niestety takiej pewności nie mamy, bo nie wiemy, czy kąty między poszczególnymi bokami są kątami prostymi. Stąd też właśnie jesteśmy w stanie udowodnić, że ten czworokąt jest rombem, ale nie jesteśmy w stanie udowodnić, że będzie to kwadrat.

Odpowiedź

Udowodniono obliczając długość każdego boku.

0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments