Długość okręgu opisanego równaniem x^2-4x+y^2-4=0 jest równa

Długość okręgu opisanego równaniem \(x^2-4x+y^2-4=0\) jest równa:

Rozwiązanie

Równanie okręgu o środku w punkcie \(S=(a;b)\) oraz promieniu \(r\) przyjmuje postać:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Musimy zatem doprowadzić równanie z treści zadania właśnie do takiej postaci, co pozwoli nam wyznaczyć najpierw promień okręgu, a potem długość całego okręgu. Zrobimy to w następujący sposób:

Krok 1. Zapisanie równania w postaci równania okręgu.
$$x^2-4x+y^2-4=0 \\
x^2-4x+4-4+y^2-4=0 \\
(x-2)^2-4+y^2-4=0 \\
(x-2)^2+y^2-8=0 \\
(x-2)^2+(y-0)^2-8=0 \\
(x-2)^2+(y-0)^2=8$$

(W drugiej linii dopisaliśmy sobie \(+4-4\), tak aby móc zastosować wzór skróconego mnożenia).

Krok 2. Wyznaczenie długości promienia.
Porównując postać równania z tym co otrzymaliśmy w pierwszym kroku możemy zauważyć, że:
$$r^2=8 \\
r=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$$

Krok 3. Wyznaczenie długości okręgu.
Korzystając ze wzoru na długość okręgu możemy zapisać, że:
$$Obw=2πr \\
Obw=2π\cdot2\sqrt{2} \\
Obw=4\sqrt{2}π$$

Odpowiedź

A

Dodaj komentarz