Długość odcinka BD w trójkącie prostokątnym ABC jest równa

Długość odcinka \(BD\) w trójkącie prostokątnym \(ABC\) jest równa:

matura z matematyki

Rozwiązanie

Krok 1. Wyznaczenie miary kąta \(CAB\).
Spójrzmy na trójkąt \(ABC\). Wiemy, że w tym trójkącie znalazły się kąty \(30°\) oraz \(90°\), zatem trzeci kąt tego trójkąta ma miarę:
$$|\sphericalangle CAB|=180°-30°-90°=60°$$

Krok 2. Wyznaczenie miary kąta \(DCA\).
Teraz spójrzmy na trójkąt \(CAD\). Wiemy że kąt \(CAD\) ma miarę \(60°\) (bo \(|\sphericalangle CAD|=|\sphericalangle CAB|=60°\)). Wiemy też że \(|\sphericalangle CDA|=60°\), zatem:
$$|\sphericalangle DCA|=180°-60°-60°=60°$$

Możemy więc już wywnioskować, że trójkąt \(CAD\) jest trójkątem równobocznym.

Krok 3. Wyznaczenie miary kąta \(BCD\).
Teraz spójrzmy na kąt \(BCA\), który ma miarę \(90°\). Składa się on z kąta \(DCA\) (którego miarę obliczyliśmy przed chwilą) oraz kąta \(BCD\), który ma w takim razie ma miarę:
$$|\sphericalangle BCD|=90°-60°=30°$$

To oznacza, że trójkąt \(BCD\) jest trójkątem równoramiennym o kątach przy podstawie \(30°\).

Krok 4. Wyznaczenie długości odcinka \(BD\).
Skoro trójkąt \(CAD\) jest równoboczny, to \(|CD|=|CA|\), czyli \(|CD|=4\).
Skoro trójkąt \(BCD\) jest równoramienny, to \(|BD|=|CD|\), czyli \(|BD|=4\).

Odpowiedź

B

Dodaj komentarz