Dla pewnego kąta ostrego alfa trzywyrazowy ciąg (2sin^2 alfa, √3tg alfa, 2cos^2 alfa) jest arytmetyczny

Dla pewnego kąta ostrego \(α\) trzywyrazowy ciąg \((2sin^2α,\;\sqrt{3}tgα,\;2cos^2α)\) jest arytmetyczny. Miara kąta \(α\) jest równa:

Rozwiązanie

Krok 1. Zapisanie równania wynikającego z własności ciągów arytmetycznych.
Z własności ciągów arytmetycznych wiemy, że dla trzech następujących po sobie wyrazów zachodzi następująca relacja:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$

Podstawiając dane z treści zadania otrzymamy:
$$\sqrt{3}tgα=\frac{2sin^2α+2cos^2α}{2}$$

Krok 2. Obliczenie wartości \(tgα\).
Jeżeli teraz w liczniku wyłączymy przed nawias dwójkę i skorzystamy z jedynki trygonometrycznej \(sin^2α+cos^2α=1\) to otrzymamy:
$$\sqrt{3}tgα=\frac{2\cdot(sin^2α+cos^2α)}{2} \\
\sqrt{3}tgα=\frac{2\cdot1}{2} \\
\sqrt{3}tgα=\frac{2}{2} \\
\sqrt{3}tgα=1 \\
tgα=\frac{1}{\sqrt{3}}$$

Krok 3. Wyznaczenie miary kąta \(α\).
Jak spojrzymy na "małą tabelkę trygonometryczną" to takiej wartości jak \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) nie znajdziemy. Wszystko dlatego, że mamy niewymierność w mianowniku, którą musimy usunąć. Moglibyśmy też wybrnąć z tej sytuacji w taki sposób, że obliczylibyśmy przybliżoną wartość \(\frac{1}{\sqrt{3}}\approx0,5774\) i wtedy z dużych tablic odczytalibyśmy, że interesujący nas kąt ma miarę \(30°\).

Aby usunąć niewymierność z mianownika musimy licznik i mianownik pomnożyć przez \(\sqrt{3}\), otrzymując:
$$tgα=\frac{1\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} \\
tgα=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Teraz z małej tabelki trygonometrycznej możemy odczytać, że \(α=30°\).

Odpowiedź

D

Dodaj komentarz