Rozwiązanie
Krok 1. Obliczenie wysokości trójkąta \(ABC\).
Z własności trójkątów równoramiennych wiemy, że ich wysokość przecina podstawę w połowie jej długości, zatem mamy taką oto sytuację:
Powstał nam trójkąt prostokątny, w którym jedyną niewiadomą jest wysokość naszego trójkąta \(ABC\), zatem:
$$6^2+H^2=10^2 \\
36+H^2=100 \\
H^2=64 \\
H=8 \quad\lor\quad H=-8$$
Ujemną długość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(H=8\).
Krok 2. Obliczenie pola trójkąta \(ABC\).
Skoro podstawa trójkąta ma długość \(a=12\), a wysokość to \(H=8\), to pole tego trójkąta jest równe:
$$P=\frac{1}{2}\cdot12\cdot8 \\
P=6\cdot8 \\
P=48$$
Krok 3. Obliczenie wysokości trójkąta, która pada na ramię trójkąta.
Spróbujmy teraz obliczyć długość wysokości trójkąta, która pada nie na podstawę, tylko na ramię. Pole powierzchni jest już nam znane, wiemy że \(P=48\). W tym przypadku podstawa będzie miała długość ramienia, czyli \(a=10\), zatem:
$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h \\
48=\frac{1}{2}\cdot10\cdot h \\
48=5\cdot h \\
h=9,6$$
Krok 4. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Mamy w tym momencie taką oto sytuację:
Krok 5. Obliczenie długości odcinka \(EB\).
Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$|EB|^2+9,6^2=12^2 \\
|EB|^2+92,16=144 \\
|EB|^2=51,84 \\
|EB|=7,2 \quad\lor\quad |EB|=-7,2$$
Długość odcinka nie może być ujemna, więc zostaje nam \(|EB|=7,2\).
Krok 6. Obliczenie długości odcinka \(ED\).
Długość odcinka \(ED\) jest różnicą między długością odcinka \(EB\) oraz \(DB\), zatem:
$$|ED|=7,2-5 \\
|ED|=2,2$$
Krok 7. Obliczenie długości odcinka \(AD\).
Ponownie skorzystamy z Twierdzenia Pitagorasa, tym razem w trójkącie \(AED\):
$$9,6^2+2,2^2=|AD|^2 \\
92,16+4,84=|AD|^2 \\
|AD|^2=97 \\
|AD|=\sqrt{97} \quad\lor\quad |AD|=-\sqrt{97}$$
Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(|AD|=\sqrt{97}\).
Krok 8. Obliczenie wartości \(sin\alpha\).
Spoglądamy teraz na trójkąt \(ADC\). Jego pole powierzchni jest równe:
$$P=\frac{1}{2}\cdot5\cdot9,6 \\
P=24$$
Wiedząc jakie jest pole tego trójkąta oraz znając długości odcinków \(AC\) oraz \(AD\), możemy teraz obliczyć poszukiwaną wartość \(sin\alpha\). W tym celu musimy skorzystać z tak zwanego wzoru na pole powierzchni trójkąta "z sinusem":
$$P=\frac{1}{2}ab\cdot sin\alpha \\
24=\frac{1}{2}\cdot10\cdot\sqrt{97}\cdot sin\alpha \\
24=5\sqrt{97}\cdot sin\alpha \\
sin\alpha=\frac{24}{5\sqrt{97}}=\frac{24\cdot\sqrt{97}}{5\sqrt{97}\cdot\sqrt{97}}=\frac{24\sqrt{97}}{5\cdot97}=\frac{24\sqrt{97}}{485}$$
Krok 3. Dlaczego podstawa ma długość ramienia?
Bo szukamy długość wysokości, która pada na to ramię ;)
Pole trójkąta to zawsze 1/2 * długość boku * wysokość która pada na tę podstawę ;)
Czy jeżeli robimy takie równania w geometrii i faktycznie wynik może wyjść ujemny, ale go odrzucamy (wiadomo dlaczego), to muszę pisać że wynikiem równania też jest liczba ujemna, czy mogę to kompletnie pominąć, że to równanie może dać wynik ujemny?
Prawdę mówiąc można pominąć – wielu nauczycieli wręcz machnie ręką na to jak tego ujemnego rozwiązania nie zapiszemy ;) Ale… jest tutaj jeden kluczowy problem. Jak sobie porobimy takie zadanka i odruchowo zaczniemy pomijać to ujemne rozwiązanie, to koniec końców zapomnimy o ujemnym rozwiązaniu w zadaniu z innego tematu/działu, gdzie to ujemne rozwiązanie będzie jak najbardziej poprawne. Ja więc dla wprawy zapisuję te ujemne rozwiązania, nawet jak jest to oczywiste że trzeba je odrzucić ;)