Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym kąt ACB=90°

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym $|\sphericalangle ACB|=90°$ oraz $|\sphericalangle BAC|=60°$. Punkt $D$ jest punktem wspólnym wysokości poprowadzonej z wierzchołka $C$ kąta prostego i przeciwprostokątnej $AB$. Przez punkt $D$ poprowadzono prostą równoległą do boku $AC$, która przecięła bok $BC$ w punkcie $E$ (zobacz rysunek). Wykaż, że $|DE|=\frac{3}{4}|AC|$.

Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Sytuacja z treści zadania będzie wyglądać mniej więcej w ten sposób:
matura z matematyki

Krok 2. Zapisanie zależności między długościami boków.
Spójrzmy na trójkąt $ABC$. Jest to trójkąt o kątach $30°, 60°, 90°$, a z własności takich trójkątów wynika, że przeciwprostokątna $AB$ będzie dwa razy dłuższa od przyprostokątnej $AC$, zatem:
$$|AB|=2\cdot|AC|$$

Teraz spójrzmy na trójkąt $ADC$, który także jest trójkątem o kątach $30°, 60°, 90°$. Tutaj moglibyśmy zauważyć, że zgodnie z własnościami takich trójkątów odcinek $AC$ będzie dwa razy dłuższy od odcinka $AD$, zatem:
$$|AC|=2\cdot|AD|$$

Teraz łącząc ze sobą te dwie informacje, możemy zapisać, że:
$$|AB|=2\cdot2\cdot|AD| \\
|AB|=4|AD| \\
|AD|=\frac{1}{4}|AB|$$

Wyszło nam więc, że odcinek $AD$ stanowi $\frac{1}{4}$ odcinka $AB$, czyli tym samym odcinek $DB$ będzie miał długość:
$$|DB|=\frac{3}{4}|AB|$$

Krok 3. Dostrzeżenie podobieństwa trójkątów.
Trójkąty $ABC$ oraz $DBE$ są podobne na podstawie cechy kąt-kąt-kąt. Przed chwilą ustaliliśmy sobie, że odcinek $DB$ stanowi $\frac{3}{4}$ odcinka $AB$, więc możemy stwierdzić, że skala podobieństwa tych trójkątów jest równa $k=\frac{3}{4}$.

Bok $DE$ jest bokiem odpowiadającym bokowi $AC$, więc zgodnie z własnościami trójkątów podobnych moglibyśmy zapisać, że $|DE|=\frac{3}{4}|AC|$, co należało właśnie udowodnić.

Odpowiedź

Udowodniono korzystając z podobieństwa trójkątów.