Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym kąt ACB=90° i kąt ABC=60°. Niech D oznacza punkt wspólny wysokości

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym \(|\sphericalangle ACB|=90°\) i \(|\sphericalangle ABC|=60°\). Niech \(D\) oznacza punkt wspólny wysokości poprowadzonej z wierzchołka \(C\) kąta prostego i przeciwprostokątnej \(AB\) tego trójkąta. Wykaż, że \(|AD|:|DB|=3:1\).

Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy narysować sobie tę sytuację nanosząc na rysunek dane z treści zadania:

matura z matematyki

Przy okazji możemy od razu zapisać, że skoro jest to trójkąt prostokątny i \(|\sphericalangle ABC|=60°\) to \(|\sphericalangle CAB|=30°\), co ułatwi nam późniejsze obliczenia.

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(|AD|\) (czyli \(x\)).
Spójrzmy na trójkąt prostokątny \(ADC\). Korzystając z funkcji trygonometrycznych możemy zapisać, że:
$$tg30°=\frac{h}{x} \\
\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{h}{x} \\
\frac{\sqrt{3}}{3}x=h \quad\bigg/\cdot\frac{3}{\sqrt{3}} \\
x=\frac{3h}{\sqrt{3}}$$

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(DB\) (czyli \(y\)).
Tym razem spójrzmy na trójkąt \(DBC\). Korzystając z funkcji trygonometrycznych możemy zapisać, że:
$$tg60°=\frac{h}{y} \\
\sqrt{3}=\frac{h}{y} \\
\sqrt{3}y=h \\
y=\frac{h}{\sqrt{3}}$$

Krok 4. Zakończenie dowodzenia.
Już po otrzymanych wynikach widzimy wyraźnie, że odcinek \(AD\) oznaczony jako \(x\) jest trzykrotnie większy od odcinka \(DB\) oznaczonego jako \(y\). Formalnie możemy jeszcze to zapisać w taki sposób:
$$|AD|:|DB|=x:y=\frac{3h}{\sqrt{3}}:\frac{h}{\sqrt{3}}=\frac{3h}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{h}=3$$

Odpowiedź

Wykazano korzystając z funkcji trygonometrycznych.

1 Komentarz
Inline Feedbacks
View all comments
Alicja

Super i zrozumiale wytłumaczone, dziękuję