Dany jest trójkąt prostokątny ABC o przyprostokątnych długości |AC|=√6 oraz |BC|=2√2

C

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Jedną z własności okręgów opisanych na trójkątach prostokątnych jest fakt, iż średnica takiego okręgu będzie równa długości przeciwprostokątnej trójkąta. Dobrze to widać na poniższym rysunku:


Krok 2. Obliczenie długości przeciwprostokątnej.
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, możemy zapisać, że:
$$(\sqrt{6})^2+(2\sqrt{2})^2=c^2 \\
6+4\cdot2=c^2 \\
6+8=c^2 \\
c^2=14 \\
c=\sqrt{14} \quad\lor\quad c=-\sqrt{14}$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, więc zostaje nam \(c=\sqrt{14}\).

Krok 3. Obliczenie długości promienia.
Długość przeciwprostokątnej jest równa długości średnicy okręgu, a nas pytają w zadaniu o długość promienia. Promień stanowi połowę długości średnicy, zatem:
$$r=\frac{1}{2}\sqrt{14}$$

\(|CS|=\frac{\sqrt{14}}{3}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Na początku musimy ustalić gdzie jest w ogóle środek ciężkości trójkąta. Jest to taki punkt wewnątrz trójkąta, w którym przeciną się wszystkie środkowe boków trójkąta (czyli odcinki łączące wierzchołek trójkąta ze środkiem odcinka leżącego naprzeciwko tego wierzchołka). Dodatkowo trzeba wiedzieć, że środek ciężkości dzieli nam środkowe na dwa odcinki z których jeden ma \(\frac{1}{3}\) długości środkowej, a drugi ma \(\frac{2}{3}\) długości środkowej:


Krok 2. Obliczenie odległości środka ciężkości od wierzchołka \(C\).
Aby rozwiązać to zadanie, trzeba wiedzieć, że długość środkowej \(CD\) jest równa połowie długości boku leżącego naprzeciwko tego wierzchołka. W naszym przypadku trzeba byłoby więc zapisać, że:
$$|CD|=\frac{1}{2}|AB|$$

Ustaliliśmy już wcześniej, że przeciwprostokątna \(AB\) ma długość \(\sqrt{14}\), zatem
$$|CD|=\frac{\sqrt{14}}{2}$$

Poszukiwany odcinek \(|CS|\) stanowi \(\frac{2}{3}\) długości odcinka \(|CD|\), zatem:
$$|CS|=\frac{2}{3}\cdot\frac{\sqrt{14}}{2} \\
|CS|=\frac{\sqrt{14}}{3}$$