Dany jest trójkąt o bokach długości a, b i c. Uzasadnij, że suma obwodów kół o średnicach a i b

Dany jest trójkąt o bokach długości \(a\), \(b\) i \(c\). Uzasadnij, że suma obwodów kół o średnicach \(a\) i \(b\) jest większa od obwodu koła o średnicy \(c\).

Rozwiązanie

Krok 1. Zapisanie wzorów na obwód koła.
Standardowo obwód koła obliczamy ze wzoru \(Obw=2πr\). W tym zadaniu skorzystamy z jednej z odmian tego wzoru, bo operować będziemy na długościach średnicy, a nie długości promienia. Skoro każdy promień ma długość \(2r\), to wzór na obwód koła możemy zapisać jako \(Obw=πd\) (gdzie \(d\) to długość średnicy).

Podstawmy zatem do tego wzoru poszczególne długości średnic. Suma obwodów kół o średnicach \(a\) oraz \(b\) będzie równa:
$$Obw_{a+b}=πa+πb=π(a+b)$$

Suma obwodu koła o średnicy \(c\) będzie równa:
$$Obw_{c}=πc$$

Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Jedną z własności trójkątów jest to, że suma długości dwóch krótszych boków musi być większa od długości najdłuższego boku (w przeciwnym wypadku nie da się stworzyć trójkąta). Możemy więc powiedzieć, że z własności trójkątów wynika, że \(a+b\gt c\). To właśnie dlatego \(π(a+b)\) jest większe od \(πc\), co należało udowodnić.

Odpowiedź

Udowodniono korzystając z własności trójkątów.

Dodaj komentarz