Dany jest trójkąt, którego kąty mają miary 30°, 45° oraz 105°

Dany jest trójkąt, którego kąty mają miary $30°$, $45°$ oraz $105°$. Długości boków trójkąta, leżących naprzeciwko tych kątów są równe – odpowiednio – $a$, $b$ oraz $c$ (zobacz rysunek).

Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.

Pole tego trójkąta poprawnie określają wyrażenia oznaczone literami:

$$......... \text{ oraz } .........$$

A. $\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot a\cdot c$

B. $\frac{1}{4}\cdot a\cdot c$

C. $\frac{\sqrt{2}}{4}\cdot a\cdot c$

D. $\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot b\cdot c$

E. $\frac{1}{2}\cdot b\cdot c$

F. $\frac{1}{4}\cdot b\cdot c$

Rozwiązanie

W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na pole trójkąta "z sinusem", czyli:
$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot sin\alpha$$

Istotne jest to, że w tym wzorze długości $a$ oraz $b$ to ramiona tworzące analizowany kąt $\alpha$. Jeśli przyjrzymy się odpowiedziom, to zauważymy, że interesują nas tak naprawdę dwie sytuacje - ramiona $a$ oraz $c$ z kątem $45°$ oraz ramiona $b$ oraz $c$ z kątem $30°$. Z tablic trygonometrycznych możemy odczytać, że $sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$ oraz $sin30°=\frac{1}{2}$, a skoro tak, to możemy zapisać dwa następujące wzory:

I wzór:
$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot c\cdot sin45° \\
P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot c\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} \\
P=\frac{\sqrt{2}}{4}\cdot a\cdot c$$

II wzór:
$$P=\frac{1}{2}\cdot b\cdot c\cdot sin30° \\
P=\frac{1}{2}\cdot b\cdot c\cdot\frac{1}{2} \\
P=\frac{1}{4}\cdot b\cdot c$$

Odpowiedź

C. oraz F.