Dany jest trójkąt ABC, w którym |AB|=6, |BC|=5, |AC|=10

Dany jest trójkąt \(ABC\), w którym \(|AB|=6\), \(|BC|=5\), \(|AC|=10\).



Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Cosinus kąta \(ABC\) jest równy \((-0,65)\).
Trójkąt \(ABC\) jest rozwartokątny.
Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Sytuacja z treści zadania będzie wyglądać następująco:
matura z matematyki

Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Korzystając z twierdzenia cosinusów możemy zapisać, że:
$$10^2=6^2+5^2-2\cdot6\cdot5\cdot cos\alpha \\
100=36+25-60cos\alpha \\
100=61-60cos\alpha \\
39=-60cos\alpha \\
cos\alpha=-0,65$$

Zdanie jest więc prawdą.

Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa wiemy, że gdy \(a^2+b^2=c^2\), to trójkąt jest prostokątny. Rozwinięciem tego twierdzenia jest informacja, że jeżeli \(a^2+b^2\gt c^2\), to trójkąt jest ostrokątny, natomiast gdy \(a^2+b^2\lt c^2\), to trójkąt jest rozwartokątny. W naszym przypadku \(a=6\), \(b=5\) oraz \(c=10\), zatem:
$$a^2+b^2=6^2+5^2=36+25=61 \\
c^2=10^2=100$$

Widzimy więc, że \(a^2+b^2\) jest mniejsze od \(c^2\), zatem jest to trójkąt rozwartokątny. Zdanie jest więc prawdą.

Odpowiedź

1) PRAWDA

2) PRAWDA

0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments