Dany jest trójkąt ABC, w którym |AB|=5, |BC|=√21, |AC|=4

Dany jest trójkąt $ABC$, w którym $|AB|=5$, $|BC|=\sqrt{21}$, $|AC|=4$. Dwusieczna kąta $\sphericalangle CAB$ przecina bok $BC$ w punkcie $D$ (zobacz rysunek poniżej).

Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź $A$, $B$ albo $C$ oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Długość odcinka $BD$ jest równa:

ponieważ z twierdzenia o dwusiecznej wynika, że:

1. $\frac{|AB|}{|AC|}=\frac{|BC|}{|BD|}$

2. $|BD|=|DC|$

3. $\frac{|AB|}{|AC|}=\frac{|BD|}{|DC|}$

Rozwiązanie

Z twierdzenia o dwusiecznej kąta, wynika, że stosunek długości jednego ramienia (czyli $AB$) względem drugiego ramienia (czyli $AC$), musi być taki sam jak stosunek długości odcinka $BD$ względem $DC$. Matematycznie zapis będzie wyglądał następująco:
$$\frac{|AB|}{|AC|}=\frac{|BD|}{|DC|}$$

Podstawiając do tego równania dane z rysunku, otrzymamy:
$$\frac{5}{4}=\frac{|BD|}{|DC|} \\
|BD|=\frac{5}{4}|DC|$$

Odcinek $|DC|$ ma miarę $\sqrt{21}-|BD|$, zatem:
$$|BD|=\frac{5}{4}\cdot(\sqrt{21}-|BD|) \\
|BD|=\frac{5}{4}\cdot\sqrt{21}-\frac{5}{4}|BD| \\
\frac{9}{4}|BD|=\frac{5}{4}\cdot\sqrt{21} \quad\bigg/\cdot\frac{4}{9} \\
|BD|=\frac{5}{9}\sqrt{21}$$

Odpowiedź

B. ponieważ z twierdzenia o dwusiecznej wynika, że: opcja C