Dany jest trójkąt ABC, o punktach A=(2,2√3) i C=(9,3√3)

\(a=\frac{\sqrt{3}}{7}\)

Możemy oczywiście wyznaczyć pełne równanie prostej \(AC\) (albo korzystając ze wzoru z tablic, albo budując i rozwiązując odpowiedni układ równań), ale skoro interesuje nas jedynie współczynnik kierunkowy prostej, to możemy skorzystać z następującego wzoru:
$$a=\frac{y_{C}-y_{A}}{x_{C}-x_{A}}$$

Podstawiając do wzoru współrzędne punktów \(A\) oraz \(C\), otrzymamy:
$$a=\frac{3\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{9-2} \\
a=\frac{\sqrt{3}}{7}$$

C

Dwie proste są względem siebie prostopadłe tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) jest równy \(-1\). Prosta o równaniu \(y=2x-4\) ma \(a=2\), więc prosta do niej prostopadła musi mieć \(a=-\frac{1}{2}\), bo \(\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot2=-1\). Taką sytuację mamy w odpowiedziach A oraz C, więc teraz musimy ustalić która z podanych tam prostych przechodzi dodatkowo przez punkt \(A\).

Wiemy już, że nasza prosta prostopadła ma współczynnik \(a=-\frac{1}{2}\), czyli będzie się ona wyrażać równaniem \(y=-\frac{1}{2}x+b\). Podstawiając do tej postaci znane współrzędne punktu \(A=(2,2\sqrt{3})\), obliczymy brakujący współczynnik \(b\), zatem:
$$2\sqrt{3}=-\frac{1}{2}\cdot2+b \\
2\sqrt{3}=-1+b \\
b=2\sqrt{3}+1$$

To oznacza, że poszukiwaną prostą jest \(y=-\frac{1}{2}x+2\sqrt{3}+1\).

\(\beta=30°\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zanim zaczniemy cokolwiek obliczać, to dobrze byłoby zacząć od prostego szkicu całej sytuacji:


Miarę kąta \(ABC\) będziemy mogli obliczyć korzystając z twierdzenia cosinusów, czyli:
$$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot cos\gamma$$

I tu najważniejsza sprawa - jak to zawsze ma miejsce przy twierdzeniu cosinusów, bok leżący naprzeciwko kąta \(ABC\) musimy oznaczyć jako \(c\) (czyli tak jak na rysunku).

Krok 2. Obliczenie długości boku \(AC\).
Aby skorzystać z twierdzenia cosinusów musimy wyznaczyć jeszcze długość boku \(AC\). Skorzystamy tutaj ze wzoru na długość odcinka, czyli:
$$|AC|=\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2}$$

Podstawiając do wzoru znane współrzędne \(A=(2,2\sqrt{3})\) oraz \(C=(9,3\sqrt{3})\), otrzymamy:
$$|AC|=\sqrt{(3\sqrt{3}-2\sqrt{3})^2+(9-2)^2} \\
|AC|=\sqrt{(\sqrt{3})^2+7^2} \\
|AC|=\sqrt{3+49} \\
|AC|=\sqrt{52}$$

Oczywiście można byłoby jeszcze wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka, otrzymując postać \(|AC|=\sqrt{4\cdot13}=2\sqrt{13}\), ale prawdę mówiąc nie ma tu takiej potrzeby, bo za chwilę i tak będziemy całość podnosić do kwadratu i postać \(\sqrt{52}\) będzie nawet wygodniejsza.

Krok 3. Wyznaczenie miary kąta \(ABC\).
Znamy już wszystkie długości boków trójkąta, zatem możemy skorzystać z twierdzenia cosinusów:
$$(\sqrt{52})^2=4^2+(6\sqrt{3})^2-2\cdot4\cdot6\sqrt{3}\cdot cos\gamma \\
52=16+108-48\sqrt{3}\cdot cos\gamma \\
-72=-48\sqrt{3}\cdot cos\gamma \\
cos\gamma=\frac{-72}{-48\sqrt{3}} \\
cos\gamma=\frac{3}{2\sqrt{3}}$$

Otrzymaliśmy już poprawny wynik, ale takiej wartości jak \(\frac{3}{2\sqrt{3}}\) nie znajdziemy w tablicach. Wszystko dlatego, że należałoby jeszcze usunąć niewymierność z mianownika, zatem:
$$\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{3\cdot\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{2\cdot3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Z tablic trygonometrycznych (z tzw. małej tabelki) odczytujemy, że \(cos\) przyjmuje wartość \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) dla kąta o mierze \(30°\), stąd też \(|\sphericalangle ABC|=30°\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy skorzystasz z twierdzenia cosinusów i zapiszesz odpowiednie równanie w którym jedyną niewiadomą jest cosinus poszukiwanego kąta (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.