Dany jest trójkąt ABC o bokach długości 4 i 6. Pole tego trójkąta jest równe 3√15

Dany jest trójkąt \(ABC\) o bokach długości \(4\) i \(6\). Pole tego trójkąta jest równe \(3\sqrt{15}\). Oznacza to, że jeśli kąt między bokami o długościach \(4\) i \(6\) ma miarę \(α\gt90°\), to:

Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

matura z matematyki

Krok 2. Wyznaczenie wartości \(sinα\).
W tym zadaniu skorzystamy z tak zwanego wzoru na pole trójkąta z sinusem i to z niego będziemy próbować wyznaczyć informacje na temat kąta \(α\):
$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot sinα \\
3\sqrt{15}=\frac{1}{2}\cdot4\cdot6\cdot sinα \\
3\sqrt{15}=12sinα \\
sinα=\frac{3\sqrt{15}}{12} \\
sinα=\frac{\sqrt{15}}{4}$$

Krok 3. Wyznaczenie wartości \(cosα\).
Znając wartość sinusa możemy obliczyć wartość cosinusa, a zrobimy to wykorzystując tak zwaną jedynkę trygonometryczną.
$$sin^2α+cos^2α=1 \\
\left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)^2+cos^2α=1 \\
\frac{15}{16}+cos^2α=1 \\
cos^2α=\frac{1}{16} \\
cosα=\frac{1}{4} \quad\lor\quad cosα=-\frac{1}{4}$$

W związku z tym, że nasz kąt \(α\) jest kątem rozwartym (bo tak wynika z zadania) to musimy odrzucić dodatnie rozwiązanie cosinusa, bo dla kątów rozwartych cosinus przyjmuje jedynie ujemne wyniki. Z tego też względu zostaje nam jedynie \(\cosα=-\frac{1}{4}\).

Odpowiedź

D

Dodaj komentarz