Dany jest trójkąt ABC o bokach długości 12, 14 oraz 16

\(P=21\sqrt{15}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Aby informacje z treści zadania się zgadzały, nasz trójkąt musi wyglądać mniej więcej w ten oto sposób:


Zwróć uwagę, że cosinus największego kąta jest ujemny, a to sugeruje nam, że kąt ten musi być rozwarty.

Krok 2. Obliczenie pola trójkąta \(ABC\).
Generalnie idea zadania opiera się na tym, by korzystając z jedynki trygonometrycznej, zamienić podanego cosinusa na sinusa (wyjdzie wtedy \(sin\alpha=\frac{\sqrt{15}}{4}\), co pozwoli nam potem na skorzystanie ze wzoru \(P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot\sin\alpha\). Ale skoro znamy wszystkie długości boków trójkąta, to aż się prosi o wykorzystanie mniej znanego wzoru na pole trójkąta, który znajduje się w tablicach matematycznych:
$$P=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

W tym wzorze małą literką \(p\) oznaczamy połowę obwodu trójkąta. W naszym przypadku byłoby to zatem:
$$p=\frac{12+14+16}{2} \\
p=\frac{42}{2} \\
p=21$$

Podstawiając zatem wszystkie długości boków do naszego wzoru, otrzymamy:
$$P=\sqrt{21\cdot(21-12)(21-14)(21-16)} \\
P=\sqrt{21\cdot9\cdot7\cdot5} \\
P=\sqrt{6615}$$

Otrzymany wynik jest jak najbardziej poprawny, choć można byłoby go jeszcze rozpisać jako:
$$\sqrt{6615}=\sqrt{441\cdot15}=21\sqrt{15}$$

\(cos\gamma=\frac{11}{16}\)

Ustalmy najpierw, który kąt będzie najmniejszy. Najmniejszy jest ten kąt, który leży naprzeciw najkrótszego boku, czyli w naszym przypadku będzie to kąt leżący naprzeciwko boku o długości \(12\).

Chcąc obliczyć cosinus tego kąta wystarczy skorzystać z twierdzenia cosinusów, czyli \(c^2=a^2+b^2-2ab\cdot cos\gamma\). Skoro naprzeciwko najmniejszego kąta jest bok o długości \(12\), to koniecznie musimy przyjąć \(c=12\) (pozostałe boki to tym samym \(a=14\) oraz \(b=16\)), a całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$12^2=14^2+16^2-2\cdot14\cdot16\cdot cos\gamma \\
144=196+256-448cos\gamma \\
144=196+256-448cos\gamma \\
144=452-448cos\gamma \\
448cos\gamma=308 \\
cos\gamma=\frac{308}{448}=\frac{11}{16}$$