Rozwiązanie
Krok 1. Obliczenie długości podstawy \(AB\) oraz przekątnej \(BD\).
Spójrzmy na trójkąt \(ABD\). Jest to trójkąt prostokątny o kątach \(30°, 60°, 90°\). Z treści zadania wynika, że \(|AD|=6\). Znamy więc długość krótszej przyprostokątnej tego trójkąta, więc zgodnie z własnościami trójkątów o kątach \(30°, 60°, 90°\) możemy zapisać, że \(|BD|=6\sqrt{3}\) oraz \(|AB|=12\).
Krok 2. Obliczenie długości \(AE\) oraz \(DE\).
Jeżeli z wierzchołka \(D\) poprowadzimy wysokość trapezu, to otrzymamy taką oto sytuację:
Ponownie powstał nam trójkąt prostokątny o kątach \(30°, 60°, 90°\). Skoro więc \(|AD|=6\), to krótsza przyprostokątna \(|AE|=3\), a dłuższa przyprostokątna \(|DE|=3\sqrt{3}\).
Krok 3. Obliczenie długości górnej podstawy \(CD\).
Skoro jest to trapez równoramienny, to obliczając długość odcinka \(AE\) otrzymaliśmy tak naprawdę taką oto sytuację:
Wiedząc, że \(|AB|=12\), możemy teraz zapisać, że:
$$3+x+3=12 \\
6+x=12 \\
x=6$$
To oznacza, że górna podstawa \(|CD|=6\).
Krok 4. Obliczenie skali podobieństwa trapezów.
Trapez \(CDFG\) jest trapezem podobnym do \(ABCD\). Znamy długości dolnych podstaw tych trapezów - w tym dużym \(|AB|=12\), a w tym mniejszym \(|CD|=6\). To oznacza, że skala podobieństwa tych figur jest równa:
$$k=\frac{|DC|}{|AB|} \\
k=\frac{6}{12} \\
k=\frac{1}{2}$$
Mówiąc bardzo obrazowo - wyszło nam, że trapez \(CDFG\) ma wszystkie wymiary \(2\) razy mniejsze od trapezu \(ABCD\).
Krok 5. Obliczenie pola powierzchni trapezu \(ABCD\).
Znamy już wszystkie potrzebne dane do obliczenia pola trapezu \(ABCD\), zatem:
$$P_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot(a+b)\cdot h \\
P_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot(12+6)\cdot3\sqrt{3} \\
P_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot18\cdot3\sqrt{3} \\
P_{ABCD}=9\cdot3\sqrt{3} \\
P_{ABCD}=27\sqrt{3}$$
Krok 6. Obliczenie pola powierzchni trapezu \(CDFG\).
Z własności figur podobnych wiemy, że jeżeli dana figura jest podobna do innej w skali podobieństwa \(k\), to pole powierzchni tej figury będzie \(k^2\) razy większe. Moglibyśmy więc zapisać, że:
$$P_{CDFG}=k^2\cdot P_{ABCD} \\
P_{CDFG}=\left(\frac{1}{2}\right)^2\cdot 27\sqrt{3} \\
P_{CDFG}=\frac{1}{4}\cdot 27\sqrt{3} \\
P_{CDFG}=\frac{27\sqrt{3}}{4}$$
