Dany jest trapez prostokątny ABCD. Podstawa AB tego trapezu jest równa 26

Dany jest trapez prostokątny \(ABCD\). Podstawa \(AB\) tego trapezu jest równa \(26\), a ramię \(BC\) ma długość \(24\). Przekątna \(AC\) tego trapezu jest prostopadła do ramienia \(BC\) (zobacz rysunek). Oblicz długość ramienia \(AD\).

matura z matematyki

Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie długości boku \(AC\).
Spójrzmy na trójkąt \(ABC\). Jest to trójkąt prostokątny, w którym znamy długości dwóch boków. To oznacza, że brakującą długość \(AC\) obliczymy z twierdzenia Pitagorasa:
$$a^2+b^2=c^2 \\
a^2+24^2=26^2 \\
a^2+576=676 \\
a^2=100 \\
a=10 \quad\lor\quad a=-10$$

Ujemną długość odrzucamy, bo długość boku nie może być ujemna, zatem \(|AC|=10\).

Krok 2. Dostrzeżenie trójkątów podobnych.
Powinniśmy dostrzec, że trójkąt \(ABC\) jest podobny do trójkąta \(ACD\). Skąd to wiemy? Spójrzmy na trójkąt \(ABC\) - jeżeli kąt \(ABC\) oznaczymy jako \(\alpha\), to kąt \(CAB\) ma miarę \(90°-\alpha\). Skoro tak, to kąt \(DAC\) musi mieć miarę \(\alpha\), a tym samym kąt \(ACD\) ma miarę \(90°-\alpha\). W ten oto sposób wykazaliśmy, że obydwa trójkąty mają jednakowe miary, zatem są to trójkąty podobne (cecha kąt-kąt-kąt).
matura z matematyki

Krok 3. Obliczenie długości ramienia \(AD\).
W trójkątach podobnych stosunek długości boków sobie odpowiadających musi być jednakowy. Mówiąc obrazowo - jeżeli przeciwprostokątna trójkąta \(ABC\) jest \(2,6\) razy większa od przeciwprostokątnej \(ACD\) (bo \(26:10=2,6\)), to analogicznie długość dłuższej przyprostokątnej tego trójkąta jest \(2,6\) razy większa od naszego boku \(AD\). To prowadzi nas do wniosku, że:
$$|AD|=24:2,6 \\
|AD|=\frac{240}{26}=\frac{120}{13}=9\frac{3}{13}$$

Do tego samego wyniku dojdziemy układając proporcję wynikającą z podobieństwa trójkątów:
$$\frac{|AB|}{|AC|}=\frac{|BC|}{|AD|} \\
\frac{26}{10}=\frac{24}{|AD|}$$

Mnożąc teraz na krzyż, otrzymamy:
$$26\cdot|AD|=10\cdot24 \\
26|AD|=240 \\
|AD|=\frac{240}{26}=\frac{120}{13}=9\frac{3}{13}$$

Odpowiedź

\(|AD|=9\frac{3}{13}\)

2 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments
ajdjad

„kąt CAB ma miarę 90°−α. Skoro tak, to kąt DAC musi mieć miarę α”, ale skąd się to bierze że jest równy alfa? Jak to obliczyć?