Dany jest sześciokąt foremny ABCDEF o polu równym 6√3

Dany jest sześciokąt foremny \(ABCDEF\) o polu równym \(6\sqrt{3}\) (zobacz rysunek).

matura z matematyki



Zadanie 1.

Pole trójkąta \(ABE\) jest równe:

A. \(6\)

B. \(4\sqrt{3}\)

C. \(2\sqrt{3}\)

D. \(4\)



Zadanie 2.

Długość odcinka \(AE\) jest równa:

A. \(2\)

B. \(2\sqrt{3}\)

C. \(4\sqrt{3}\)

D. \(4\)

Rozwiązanie

Rozwiązanie 1.
Najprościej byłoby dostrzec, że nasz trójkąt stanowi \(\frac{1}{3}\) pola całego sześciokąta. Dobrze to widać na poniższym rysunku:
matura z matematyki

Skoro tak, to:
$$P=\frac{1}{3}\cdot6\sqrt{3} \\
P=2\sqrt{3}$$

Rozwiązanie 2.
Krok 1. Obliczenie długości boku sześciokąta.
Pole sześciokąta foremnego o boku \(a\) to tak naprawdę pole sześciu trójkątów równobocznych, stąd też:
$$P=6\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$

Z treści zadania wynika, że to pole jest równe \(6\sqrt{3}\), zatem:
$$6\sqrt{3}=6\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \quad\bigg/:6 \\
\sqrt{3}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \quad\bigg/\cdot4 \\
4\sqrt{3}=a^2\sqrt{3} \quad\bigg/:\sqrt{3} \\
a^2=4 \\
a=2 \quad\lor\quad a=-2$$

Długość boku sześciokąta musi być dodatnia, stąd też \(a=2\).

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(AE\).
Odcinek \(AE\) to tak zwana krótsza przekątna sześcianu. Jeśli znamy na nią wzór, to zadanie jest już bardzo proste, ponieważ:
$$|AE|=a\sqrt{3} \\
|AE|=2\sqrt{3}$$

Jeżeli jednak nie pamiętamy tego wzoru, to wystarczyłoby dostrzec, że długość tego boku to wysokość dwóch trójkątów równobocznych:
matura z matematyki

Wzór na wysokość trójkąta równobocznego to \(h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\). Skoro tak, to:
$$|AE|=2\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
|AE|=a\sqrt{3} \\
|AE|=2\sqrt{3}$$

Odpowiedź

1. C
2. B

0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments