Dany jest sześcian ABCDEFGH. Przekątne AC i BD ściany ABCD sześcianu przecinają się w punkcie P

Dany jest sześcian \(ABCDEFGH\). Przekątne \(AC\) i \(BD\) ściany \(ABCD\) sześcianu przecinają się w punkcie \(P\) (zobacz rysunek).

matura z matematyki



Tangens kąta, jaki odcinek \(PH\) tworzy z płaszczyzną \(ABCD\), jest równy:

Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
W sześcianie wszystkie krawędzie mają jednakową długość, oznaczmy ją jako \(a\). Dodatkowo zaznaczmy interesujący nas kąt, czyli kąt między odcinkiem \(PH\) i płaszczyzną podstawy:
matura z matematyki

Aby obliczyć wartość tangensa naszego kąta będziemy potrzebować długości dwóch przyprostokątnych trójkąta \(DPH\). Wiemy już, że \(|DH|=a\), musimy jeszcze wyznaczyć długość odcinka \(DP\).

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(DP\).
Odcinek \(DP\) to połowa przekątnej kwadratu znajdującego się w podstawie. Skoro w podstawie mamy kwadrat o boku \(a\), to jego cała przekątna ma długość \(a\sqrt{2}\). Nasz odcinek \(DP\) jest połową tej długości, czyli:
$$|DP|=\frac{1}{2}a\sqrt{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$$

Krok 3. Obliczenie wartości tangensa.
Znamy długości dwóch przyprostokątnych, więc jesteśmy w stanie wyznaczyć poszukiwaną wartość tangensa naszego kąta:
$$tgα=\frac{|DH|}{|DP|} \\
tgα=\frac{a}{\frac{a\sqrt{2}}{2}} \\
tgα=a:\frac{a\sqrt{2}}{2} \\
tgα=a\cdot\frac{2}{a\sqrt{2}} \\
tgα=\frac{2}{\sqrt{2}}$$

Usuwając niewymierność z mianownika otrzymamy:
$$tgα=\frac{2}{\sqrt{2}} \\
tgα=\frac{2\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \\
tgα=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$$

Odpowiedź

D

Dodaj komentarz