Dany jest stożek, którego tworząca ma długość 4, a kąt rozwarcia wynosi 120°. Pole powierzchni bocznej tego stożka

Dany jest stożek, którego tworząca ma długość \(4\), a kąt rozwarcia wynosi \(120°\). Pole powierzchni bocznej tego stożka jest równe:

Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanosząc na stożek dane z treści zadania otrzymamy tak naprawdę trójkąty o kątach \(30°,60°,90°\), bowiem wysokość stożka podzieli nam kąt rozwarcia na dwa kąty o mierze \(60°\):
matura z matematyki

Krok 2. Obliczenie długości promienia podstawy.
Długość promienia możemy obliczyć korzystając z własności trójkątów o kątach \(30°,60°,90°\) lub też z funkcji trygonometrycznych. W przypadku funkcji trygonometrycznych możemy skorzystać np. z sinusa:
$$sin60°=\frac{r}{4} \\
\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{r}{4} \\
r=2\sqrt{3}$$

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni bocznej.
Mamy już wszystkie potrzebne miary, czyli \(r=2\sqrt{3}\) oraz \(l=4\), zatem pole powierzchni bocznej będzie równe:
$$P_{b}=\pi rl \\
P_{b}=\pi\cdot2\sqrt{3}\cdot4 \\
P_{b}=8\sqrt{3}\pi$$

Odpowiedź

A

Dodaj komentarz