Rozwiązanie
Krok 1. Rozpisanie poszczególnych wyrazów ciągu.
Rozpiszmy drugi, dziewiąty oraz czwarty wyraz ciągu korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego, czyli \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\). Otrzymamy wtedy, że:
$$a_{2}=a_{1}+r \\
a_{9}=a_{1}+8r \\
a_{4}=a_{1}+3r$$
Krok 2. Podstawienie rozpisanych wyrazów do wyrażenia z treści zadania.
Podstawiając teraz wyznaczone przed chwilą wyrazy do wyrażenia z treści zadania otrzymamy:
$$a_{2}+a_{9}=a_{4}+a_{k} \\
a_{1}+r+a_{1}+8r=a_{1}+3r+a_{k} \\
2a_{1}+9r=a_{1}+3r+a_{k} \\
a_{k}=a_{1}+6r$$
Ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu wiemy, że wartość \(a_{1}+6r=a_{7}\), więc wychodzi nam, że \(a_{k}=a_{7}\). To oznacza, że \(a_{k}\) jest siódmym wyrazem naszego ciągu, czyli \(k=7\).
