Wyjaśnienie:
Krok 1. Wyznaczenie długości boku rombu.
Romb ma wszystkie boki równej długości, zatem skoro jego obwód jest równy \(40\sqrt{2}\), to każdy z boków tej figury ma długość:
$$a=40\sqrt{2}:4 \\
a=10\sqrt{2}$$
Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Kąty przy jednym boku rombu mają zawsze sumę miar równą \(180°\). Skoro więc jeden z kątów ma miarę \(6\), to drugi kąt (który będzie kątem rozwartym) będzie miał miarę \(180°-60°=120°\). Sytuacja z treści zadania wygląda więc w ten oto sposób:
Krok 3. Obliczenie wartości \(cos120°\).
Za chwilę będziemy chcieli skorzystać z twierdzenia cosinusów, a wtedy przyda nam się znajomość wartości \(cos120°\). Obliczmy zatem ją już teraz. W tym celu możemy skorzystać np. z tego oto wzoru redukcyjnego:
$$cos(180°-\alpha)=-cos\alpha$$
Rozpisując zgodnie z tym wzorem \(cos120°\), otrzymamy:
$$cos120°=cos(180°-60°)=-cos60°$$
Z tablic trygonometrycznych odczytujemy, że \(cos60°=\frac{1}{2}\), więc tym samym \(-cos60°=-\frac{1}{2}\). To oznacza, że w takim razie \(cos120°=-\frac{1}{2}\).
Krok 4. Obliczenie długości przekątnej rombu.
Korzystając z twierdzenia cosinusów możemy zapisać, że:
$$d^2=(10\sqrt{2})^2+(10\sqrt{2})^2-2\cdot10\sqrt{2}\cdot10\sqrt{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right) \\
d^2=100\cdot2+100\cdot2-2\cdot100\cdot2\left(-\frac{1}{2}\right) \\
d^2=200+200-(-200) \\
d^2=600 \\
d=\sqrt{600} \quad\lor\quad d=-\sqrt{600}$$
Ujemną długość oczywiście odrzucamy, ponieważ długość przekątnej musi być dodatnia. Zostaje nam zatem \(d=\sqrt{600}\), co możemy jeszcze rozpisać jako \(d=\sqrt{100\cdot6}=10\sqrt{6}\).
