Dany jest prostopadłościan o wymiarach 30cm x 40cm x 120cm, a ponadto dane są cztery odcinki a,b,c,d

Dany jest prostopadłościan o wymiarach \(30cm\times40cm\times120cm\) (zobacz rysunek), a ponadto dane są cztery odcinki \(a,b,c,d\), o długościach - odpowiednio - \(119cm\), \(121cm\), \(129cm\) i \(131cm\).

matura z matematyki



Przekątna tego prostopadłościanu jest dłuższa:

Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy na początek narysować tę sytuację, zaznaczając od razu przekątną całego prostopadłościanu.
matura z matematyki

Utworzył nam się trójkąt prostokątny w którym przekątna bryły jest przeciwprostokątną tego trójkąta. To właśnie z tego trójkąta wyznaczymy długość tej przekątnej.

Krok 2. Obliczenie długości przekątnej podstawy.
Zanim obliczymy przekątną całego prostopadłościanu to widzimy z rysunku, że musimy obliczyć przekątną podstawy. Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$120^2+30^2=c^2 \\
14400+900=c^2 \\
c^2=15300 \\
c=\sqrt{15300} \quad\lor\quad c=-\sqrt{15300}$$

Ujemną wartość odrzucamy, bo długość boku musi być dodatnia. Zostaje nam więc \(c=\sqrt{15300}\) i na razie w takiej postaci to zostawimy.

Krok 3. Obliczenie długości przekątnej prostopadłościanu.
Teraz korzystając z naszego zaznaczonego trójkąta prostokątnego możemy obliczyć długość przekątnej całej bryły, ponownie korzystając z Twierdzenia Pitagorasa:
$$(\sqrt{15300})^2+40^2=d^2 \\
15300+1600=d^2 \\
d^2=16900 \\
d=\sqrt{16900} \quad\lor\quad d=-\sqrt{16900} \\
d=130 \quad\lor\quad d=-130$$

Ponownie odrzucamy ujemną długość, zatem zostaje nam \(d=130\).

Krok 4. Wybór prawidłowej odpowiedzi.
Musimy odpowiedzieć na pytanie od ilu z podanych odcinków nasza przekątna prostopadłościanu jest dłuższa i widzimy wyraźnie, że jest dłuższa od trzech odcinków: \(a\), \(b\) oraz \(c\).

Odpowiedź

C

Dodaj komentarz