Rozwiązanie
Krok 1. Zapisanie pól powierzchni figur.
Zanim zaczniemy cokolwiek obliczać, zwróćmy uwagę, że \(|PA|=|CR|=10-x\) oraz że \(|DS|=|BQ|=6-x\).
Pole naszego czworokąta \(ABCD\) będzie równe polu dużego prostokąta \(PQRS\), który jest pomniejszony o pola czterech trójkątów prostokątnych. Obliczmy zatem pola tych małych trójkątów, korzystając ze wzoru \(P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h\).
\(P_{PAD}=\frac{1}{2}\cdot x\cdot(10-x)=5x-\frac{1}{2}x^2\)
\(P_{AQB}=\frac{1}{2}\cdot x\cdot(6-x)=3x-\frac{1}{2}x^2\)
\(P_{BRC}=\frac{1}{2}\cdot x\cdot(10-x)=5x-\frac{1}{2}x^2\)
\(P_{CSD}=\frac{1}{2}\cdot x\cdot(6-x)=3x-\frac{1}{2}x^2\)
Obliczmy jeszcze od razu pole prostokąta \(PQRS\), które jest równe:
\(P_{CSD}=6\cdot10=60\)
Teraz zgodnie z planem, od jeśli od pola prostokąta odejmiemy pola małych trójkątów, to otrzymamy pole czworokąta \(ABCD\), zatem:
$$P=60-\left((3x-\frac{1}{2}x^2)+(5x-\frac{1}{2}x^2)+(3x-\frac{1}{2}x^2)+(5x-\frac{1}{2}x^2)\right) \\
P=60-\left(16x-2x^2\right) \\
P=60-16x+2x^2 \\
P=2x^2-16x+60$$
Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji \(P(x)\).
Otrzymaliśmy informację, że pole powierzchni można opisać wzorem \(2x^2-16x+60\). W ten sposób udało nam się zapisać wzór na pole z użyciem tylko jednej niewiadomej. Teraz całość możemy potraktować jak funkcję kwadratową (dla jakiejś wartości \(x\) otrzymamy konkretne pole \(P\)). Zapisalibyśmy więc, że \(P(x)=2x^2-16x+60\).
Dodatkowo w treści zadania pojawił nam się warunek, że \(x\ge3\), który powinniśmy uwzględnić w dziedzinie tej funkcji. Dodatkowo wiemy, że skoro krótszy bok prostokąta ma długość \(6\), to tym samym \(x\lt6\). To prowadzi nas do wniosku, że dziedziną tej funkcji będzie przedział \(D=\langle3,6)\).
Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Tutaj parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry (bo współczynnik \(a=2\)). Sytuacja będzie więc wyglądać następująco (zwróć uwagę, że na pionowej osi nie mamy \(y\), tylko pole \(P\)):
Chcemy się dowiedzieć, dla jakiego \(x\) osiągniemy jak najmniejsze pole \(P\). Z własności parabol wiemy, że parabola skierowana ramionami do góry osiągnie swoją najmniejszą wartość w wierzchołku. Obliczmy zatem dla jakiej długości \(x\) to najmniejsze pole jest przyjmowana, a pomoże nam w tym wzór na współrzędną \(x_{W}\) wierzchołka paraboli:
$$x_{W}=\frac{-b}{2a} \\
x_{W}=\frac{-(-16)}{2\cdot2} \\
x_{W}=\frac{16}{4} \\
x_{W}=4$$
Otrzymany wynik mieści się w naszej dziedzinie, więc wszystko jest w porządku.
Krok 4. Obliczenie pola powierzchni.
Wyliczyliśmy, że pole powierzchni będzie najmniejsze gdy \(x=4\). Zgodnie z treścią zadania, musimy jeszcze obliczyć to pole, zatem korzystając z wcześniej zapisanego wzoru, otrzymamy:
$$P=2x^2-16x+60 \\
P=2\cdot4^2-16\cdot4+60 \\
P=2\cdot16-64+60 \\
P=32-64+60 \\
P=28$$
