Dany jest prostokąt \(ABCD\). Okręgi o średnicach \(AB\) i \(AD\) przecinają się w punktach \(A\) i \(P\) (zobacz rysunek). Wykaż, że punkty \(B\), \(P\) i \(D\) leżą na jednej prostej.
Rozwiązanie:
Krok 1. Analiza kątów \(APB\) oraz \(DPA\).
Połączmy sobie punkt \(P\) z punktami \(A\), \(B\) oraz \(D\), tworząc w ten sposób odcinki \(|PA|\), \(|PB|\) oraz \(|PD|\). Teraz musimy dostrzec, że kąty \(\sphericalangle APB\) oraz \(\sphericalangle DPA\) są oparte na średnicach okręgów, a to z kolei oznacza, że te dwa kąty mają na pewno miarę \(90°\).
Krok 2. Analiza kąta \(BPD\) i zakończenie dowodzenia.
Kąt \(BPD\) jest sumą kątów \(APB\) oraz \(DPA\), a więc ma miarę równą \(90°+90°=180°\). Skoro jest to kąt półpełny, to jego ramiona na pewno tworzą linię prostą, a to z kolei oznacza, że punkty \(B\), \(P\) oraz \(D\) na pewno leżą na jednej prostej.
Odpowiedź:
Udowodniono na podstawie własności trójkątów opartych na średnicy okręgu.
