Dany jest prostokąt ABCD o bokach długości 5cm i 10cm. Na boku CD, w odległości 4cm

Dany jest prostokąt \(ABCD\) o bokach długości \(5cm\) i \(10cm\). Na boku \(CD\), w odległości \(4cm\) od punktu \(D\), zaznaczono punkt \(E\), który połączono z punktami \(A\) i \(B\) tak, jak na rysunku.

egzamin ósmoklasisty



Czy trójkąt \(ABE\) jest prostokątny?

Tak
Nie
Ponieważ
A) \(|AE|+|EB|\gt|AB|\)
B) \(|AE|^2+|EB|^2\gt|AB|^2\)
C) \(|AE|+|EB|=|AB|\)
Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie długości boku \(AE\).
Spójrzmy na biały trójkąt \(ADE\). Jest to na pewno trójkąt prostokątny (bo kąt przy wierzchołku \(D\) jest kątem prostokąta). Odcinek \(AD\) ma długość \(5cm\), natomiast odcinek \(DE\) ma długość \(4cm\). Korzystając więc z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$4^2+5^2=|AE|^2 \\
16+25=|AE|^2 \\
|AE|^2=41 \\
|AE|=\sqrt{41} \quad\lor\quad |AE|=-\sqrt{41}$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo długość boku nie może być ujemna, zatem zostaje nam \(|AE|=\sqrt{41}\).

Krok 2. Obliczenie długości boku \(BE\).
Spoglądamy na trójkąt \(BCE\). Sytuacja jest analogiczna do tej przed chwilą - to także jest trójkąt prostokątny i to właśnie z niego wyliczymy długość boku \(BE\). Odcinek \(BC\) ma długość \(5cm\), natomiast odcinek \(EC\) ma długość \(10cm-4cm=6cm\). W związku z tym:
$$6^2+5^2=|BE|^2 \\
36+25=|BE|^2 \\
|BE|^2=61 \\
|BE|=\sqrt{61} \quad\lor\quad |BE|=-\sqrt{61}$$

Ujemny wynik także odrzucamy, zatem zostaje nam \(|BE|=\sqrt{61}\).

Krok 3. Sprawdzenie, czy trójkąt \(ABE\) jest prostokątny.
Jeżeli trójkąt miałby być prostokątny to zgodnie z Twierdzeniem Pitagorasa \(|AE|^2+|BE|^2\) powinno być równe \(|AB|^2\). Jeżeli taka równość nie zajdzie, to trójkąt nie będzie prostokątny. Sprawdźmy zatem ile jest równe \(|AE|^2+|BE|^2\):
$$|AE|^2+|BE|^2=\sqrt{41}^2+\sqrt{61}^2=41+61=102$$

Teraz sprawdźmy ile jest równe \(|AB|^2\):
$$|AB|^2=10^2=100$$

Widzimy wyraźnie, że suma kwadratów potencjalnych długości przyprostokątnych jest większa niż kwadrat długości potencjalnej przeciwprostokątnej. Stąd też płynie wniosek, że ten trójkąt nie jest prostokątny, ponieważ \(|AE|^2+|EB|^2\gt|AB|^2\).

Odpowiedź

Nie ponieważ opcja B