Dany jest półokrąg oparty na średnicy AB. Punkt C leży na półokręgu, punkt D leży na średnicy

Dany jest półokrąg oparty na średnicy \(AB\). Punkt \(C\) leży na półokręgu, punkt \(D\) leży na średnicy, odcinki \(CD\) i \(AB\) są prostopadłe oraz \(|CD|=\sqrt{2}\). Punkt \(D\) dzieli średnicę na odcinki \(a,b\) (patrz rysunek). Wykaż, że \(ab=2\).

matura z matematyki

Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy narysować trójkąt, który będzie opierał się na średnicy tego półokręgu i będzie miał wierzchołek w punkcie \(C\). Z własności trójkątów wpisanych w okrąg wiemy, że taki trójkąt oparty na średnicy będzie jednocześnie trójkątem prostokątnym.

matura z matematyki

Krok 2. Dostrzeżenie podobieństwa trójkątów i zakończenie dowodzenia.
Poza tym, że mamy jeden duży trójkąt \(ABC\) to powstały nam dwa prostokątne trójkąty podobne \(ADC\) oraz \(DBC\) (cecha bok-kąt-bok). Korzystając z tego podobieństwa możemy zapisać, że:
$$\frac{|CD|}{|AD|}=\frac{|BD|}{|CD|} \\
\frac{\sqrt{2}}{a}=\frac{b}{\sqrt{2}}$$

Mnożąc na krzyż otrzymamy:
$$ab=\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} \\
ab=2$$

Otrzymaliśmy dokładnie to co mieliśmy wykazać, zatem zadanie możemy uznać za zakończone.

Odpowiedź

Udowodniono korzystając z podobieństwa trójkątów.

Dodaj komentarz