Dany jest pięcioelementowy zbiór K=5,6,7,8,9

Dany jest pięcioelementowy zbiór $K=\{5,6,7,8,9\}$. Wylosowanie każdej liczby z tego zbioru jest jednakowo prawdopodobne. Ze zbioru $K$ losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb jest liczbą parzystą. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Nasz zbiór ma $5$ liczb, a losowanie odbywa się ze zwracaniem (czyli możemy wylosować dwa razy ten sam wynik). To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia, wszystkich zdarzeń elementarnych będziemy mieć $|Ω|=5\cdot5=25$.

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja, w której wylosowana para liczb da parzystą sumę. Musimy najpierw ustalić, kiedy taka parzysta suma jest możliwa. Aby otrzymać parzystą sumę dwóch liczb, to te dwie liczby muszą być parzyste (np. $6+8=14$) lub też obydwie muszą być nieparzyste (np. $5+7=12$). Ustalmy zatem ile możemy stworzyć takich parzystych i nieparzystych par.

· Pary z parzystymi liczbami:
W zbiorze mamy dwie parzyste liczby, czyli $6$ oraz $8$. W związku z tym, zgodnie z regułą mnożenia, takich parzystych par możemy wylosować $2\cdot2=4$.

· Pary z nieparzystymi liczbami:
W zbiorze mamy trzy nieparzyste liczby, czyli $5$, $7$ oraz $9$. W związku z tym, zgodnie z regułą mnożenia, takich parzystych par możemy wylosować $3\cdot3=9$.

Korzystając teraz z reguły dodawania, możemy stwierdzić, że wszystkich interesujących nas możliwości mamy $|A|=4+9=13$.

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{13}{25}$$

Odpowiedź

$p=\frac{13}{25}$