Dany jest ostrosłup, którego podstawą jest kwadrat o boku 6

\(V=144\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Jest to ostrosłup, którego jedna z krawędzi bocznych jest prostopadła do płaszczyzny, czyli ta bryła musi wyglądać w następujący sposób:


To prowadzi nas do bardzo ważnego wniosku - krawędź boczna o długości \(12\) jest jednocześnie wysokością tego ostrosłupa.

Krok 2. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Ustaliliśmy już, że w podstawie mamy kwadrat o boku \(a=6\), natomiast wysokość tego ostrosłupa to \(H=12\). W takim razie:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot6^2\cdot 12 \\
V=\frac{1}{3}\cdot36\cdot12 \\
V=12\cdot12 \\
V=144$$

A

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Na początek musimy ustalić, która to krawędź będzie tą najdłuższą i gdzie jest kąt nachylenia tej krawędzi do płaszczyzny. Wszystko wyjaśnia poniższy rysunek:


Krok 2. Obliczenie długości przekątnej podstawy.
Do obliczenia tangensa potrzebujemy długości dolnej przyprostokątnej zaznaczonego na rysunku trójkąta prostokątnego i widzimy, że jest to jednocześnie przekątna kwadratu o boku \(6\), który znajduje się w podstawie. Z własności kwadratów wiemy, że przekątna kwadratu o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\), zatem nasza przekątna ma długość \(d=6\sqrt{2}\).

Krok 3. Obliczenie tangensa nachylenia krawędzi do płaszczyzny.
Tangens odpowiada stosunkowi obydwu przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym, zatem zgodnie z rysunkiem możemy zapisać, że:
$$tg\alpha=\frac{H}{d} \\
tg\alpha=\frac{12}{6\sqrt{2}} \\
tg\alpha=\frac{12\cdot\sqrt{2}}{6\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \\
tg\alpha=\frac{12\sqrt{2}}{6\cdot2} \\
tg\alpha=\frac{12\sqrt{2}}{12} \\
tg\alpha=\sqrt{2}$$