Dany jest okrąg o środku S=(2,3) i promieniu r=5. Który z podanych punktów leży na tym okręgu?

Dany jest okrąg o środku \(S=(2,3)\) i promieniu \(r=5\). Który z podanych punktów leży na tym okręgu?

\(A=(-1,7)\)
\(B=(2,-3)\)
\(C=(3,2)\)
\(D=(5,3)\)
Rozwiązanie:
I sposób – wyznaczając równanie okręgu.
Krok 1. Wyznaczenie równania okręgu.

To zadanie najprościej jest rozwiązać wyznaczając sobie równanie okręgu, które tak naprawdę polega tylko na podstawieniu danych z treści zadania. Okrąg o środku \(S=(a;b)\) i promieniu \(r\) możemy opisać równaniem:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Podstawiając współrzędne \(S=(2,3)\) i promień \(r=5\) otrzymamy:
$$(x-2)^2+(y-3)^2=5^2 \\
(x-2)^2+(y-3)^2=25$$

Krok 2. Sprawdzenie który z punktów leży na okręgu.

Jeśli punkt leży na okręgu to będzie spełniał to równanie, które wyznaczyliśmy sobie przed chwilą. Musimy więc podstawiać po kolei współrzędne i jak się za chwilę okaże już pierwsza odpowiedź będzie tą poszukiwaną. Podstawiając \(A=(-1;7)\) otrzymamy:
$$(-1-2)^2+(7-3)^2=25 \\
(-3)^2+4^2=25 \\
9+16=25 \\
25=25 \\
L=P$$

To oznacza, że punkt \(A\) leży na naszym okręgu i już dalej nie musimy sprawdzać kolejnych punktów.

II sposób – sprawdzając długości poszczególnych odcinków.

Gdybyśmy nie znali zagadnienia jakim jest równanie okręgu, to możemy jeszcze skorzystać ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych. Wyznaczylibyśmy wtedy po kolei długości odcinków \(SA\), \(SB\), \(SC\) oraz \(SD\), a prawidłową odpowiedzią będzie ten punkt, który z punktem \(S\) stworzy odcinek o długości \(5\) (bo \(r=5\)).
$$|SA|=\sqrt{(x_{A}-x_{S})^2+(y_{A}-y_{S})^2} \\
|SA|=\sqrt{(-1-2)^2+(7-3)^2} \\
|SA|=\sqrt{(-3)^2+4^2} \\
|SA|=\sqrt{9+16} \\
|SA|=\sqrt{25} \\
|SA|=5$$

Odpowiedź:

A. \(A=(-1,7)\)

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.