Rozwiązanie
Krok 1. Dostrzeżenie podobieństwa trójkątów \(ACP\) oraz \(BPD\).
Spójrzmy na kąty \(ABD\) i \(ACD\). Są to dwa kąty wpisane, które oparte są na tym samym łuku, co z kolei prowadzi nas do wniosku, że miary tych kątów będą jednakowe.
Analogicznie jest w przypadku kątów \(BAC\) oraz \(BDC\) - tutaj także mamy kąty oparte na tym samym łuku, więc miara tych dwóch kątów będzie taka sama.
Dodatkowo trzeba zauwayć, że kąty \(APC\) oraz \(BPD\) są kątami wierzchołkowymi, czyli w tej parze miara kątów również będzie jednakowa.
To wszystko sprawia, że trójkąty \(ACP\) oraz \(BPD\) będą na pewno trójkątami podobnymi (cecha: kąt-kąt-kąt).
Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(PA\).
Z podobieństwa trójkątów wynika, że możemy ułożyć następujące równanie:
$$\frac{|PA|}{|PD|}=\frac{|PC|}{|PB|}$$
Podstawiając znane długości boków, otrzymamy:
$$\frac{|PA|}{5}=\frac{8}{4}$$
Mnożąc teraz na krzyż wyjdzie nam, że:
$$|PA|\cdot4=5\cdot8 \\
4|PA|=40 \\
|PA|=10$$
Krok 3. Obliczenie długości średnicy okręgu.
Z rysunku wynika, że średnica \(AB\) jest równa sumie odcinków \(PA\) oraz \(PB\), zatem:
$$|AB|=10+4 \\
|AB|=14$$
Krok 4. Obliczenie długości promienia okręgu.
Promień jest zawsze równy połowie średnicy, zatem:
$$r=14:2 \\
r=7$$
