Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny an, dla n≥1 taki, że a5=18. Wyrazy a1, a3 oraz a13 tego ciągu

Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny $(a_{n})$, dla $n\ge1$ taki, że $a_{5}=18$. Wyrazy $a_{1}$, $a_{3}$ oraz $a_{13}$ tego ciągu są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem pewnego ciągu geometrycznego. Wyznacz wzór na $n$-ty wyraz ciągu $(a_{n})$.

Rozwiązanie:

Krok 1. Wyznaczenie wartości pierwszego wyrazu.

Skorzystamy tutaj z informacji, która mówi nam że piąty wyraz tego ciągu jest równy $18$. Dzięki niej spróbujemy zapisać jaka relacja zachodzi między pierwszym wyrazem ciągu i różnicą $r$.
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \\
a_{5}=a_{1}+(5-1)r \\
18=a_{1}+4r \\
a_{1}=18-4r$$

Krok 2. Wyznaczenie wartości trzeciego i trzynastego wyrazu.

Pod wzory ogólne na trzeci i trzynasty wyraz możemy teraz podstawić $a_{1}=18-4r$, otrzymując w ten sposób:
$$a_{3}=a_{1}+2r \\
a_{3}=18-4r+2r \\
a_{3}=18-2r \\
\text{oraz} \\
a_{13}=a_{1}+12r \\
a_{13}=18-4r+12r \\
a_{13}=18+8r$$

W ten sposób pozbyliśmy się we wzorach wartości $a_{1}$ i dalej będziemy mogli tworzyć równania już tylko z jedną niewiadomą – czyli z różnicą $r$.

Krok 3. Wyznaczenie wartości różnicy ($r$).

Skoro wyrazy $a_{1}$, $a_{3}$ oraz $a_{13}$ są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, to relację między ich wartościami możemy zapisać jako:
$$\require{cancel}
{a_{3}}^2=a_{1}\cdot a_{13} \\
(18-2r)^2=(18-4r)\cdot(18+8r) \\
\cancel{324}-\cancel{72r}+4r^2=\cancel{324}+144r-\cancel{72r}-32r^2 \\
36r^2-144r=0$$

Krok 4. Obliczenie powstałego równania kwadratowego i wyznaczenie różnicy ciągu.

Możemy to równanie obliczyć tradycyjną metodą delty (pamiętaj tylko, że w tym przypadku współczynnik $c=0$). Możemy też zapisać to równanie w postaci iloczynowej, bo jest ona akurat dość prosta (o ile ją zauważymy):
$$36r^2-144r=0 \\
36r(r-4)=0 \\
36r=0 \quad\lor\quad r-4=0 \\
r=0 \quad\lor\quad r=4$$

I tu musimy się zastanowić, czy przypadkiem któregoś wyniku nie musimy odrzucić. Nasz ciąg arytmetyczny musi być rosnący, a to z kolei oznacza, że $r\gt0$. Ta informacja sprawia, że rozwiązanie $r=0$ odrzucamy i zostaje nam $r=4$.

Krok 5. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu ciągu.

Skoro już znamy wartość różnicy, to możemy wrócić do naszego pierwszego wyrazu i obliczyć jego wartość. Przyda nam się ona do zapisania wzoru ogólnego na $n$-ty ciąg wyrazu.
$$a_{1}=18-4r \\
a_{1}=18-4\cdot4 \\
a_{1}=18-16 \\
a_{1}=2$$

Krok 6. Wyznaczenie wzoru na $n$-ty wyraz ciągu.

$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \\
a_{n}=2+(n-1)\cdot4 \\
a_{n}=2+4n-4 \\
a_{n}=4n-2$$

Odpowiedź:

$a_{n}=4n-2$

Zadania

Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny an, dla n≥1 taki, że a5=18. Wyrazy a1, a3 oraz a13 tego ciągu

Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny \((a_{n})\), dla \(n\ge1\) taki, że \(a_{5}=18\). Wyrazy \(a_{1}\), \(a_{3}\) oraz \(a_{13}\) tego ciągu są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem pewnego ciągu geometrycznego. Wyznacz wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu \((a_{n})\).