Dany jest nieskończony ciąg an, w którym a1=4^10, a każdy następny wyraz jest dwukrotnie mniejszy od poprzedniego

Dany jest nieskończony ciąg \((a_{n})\), w którym \(a_{1}=4^{10}\), a każdy następny wyraz jest dwukrotnie mniejszy od poprzedniego. Wtedy wyraz \(a_{15}\) jest równy:

Rozwiązanie

Krok 1. Ustalenie wartości ilorazu ciągu geometrycznego.
Skoro każdy następny wyraz ma być dwa razy mniejszy od poprzedniego, to mamy do czynienia z ciągiem geometrycznym w którym \(q=\frac{1}{2}\).

Krok 2. Wyznaczenie wartości \(a_{15}\).
Wiedząc, że \(a_{1}=4^{10}\) oraz \(q=\frac{1}{2}\) możemy skorzystać ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego i zapisać, że:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1} \\
a_{15}=4^{10}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{15-1} \\
a_{15}=4^{10}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{14} \\
a_{15}=\left(2^2\right)^{10}\cdot\left(2^{-1}\right)^{14} \\
a_{15}=2^{20}\cdot2^{-14} \\
a_{15}=2^{6} \\
a_{15}=64$$

Odpowiedź

B

Dodaj komentarz