Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny. Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe 45√3

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe \(45\sqrt{3}\). Pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej ściany bocznej. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

matura z matematyki

Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie pola podstawy graniastosłupa.
Z treści zadania wynika, że pole podstawy jest dokładnie takie same jak pole ściany bocznej. Skoro więc \(P_{p}=P_{b}\) to korzystając ze wzoru na pole powierzchni całkowitej możemy zapisać, że:
$$P_{c}=2P_{p}+3P_{b} \\
P_{c}=2P_{p}+3P_{p} \\
P_{c}=5P_{p} \\
45\sqrt{3}=5P_{p} \\
P_{p}=9\sqrt{3}$$

Krok 2. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Skoro w podstawie jest trójkąt równoboczny i skoro znamy jego pole powierzchni (obliczyliśmy je przed chwilą) to w prosty sposób możemy obliczyć także długość krawędzi podstawy:
$$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
9\sqrt{3}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \quad\bigg/\cdot4 \\
36\sqrt{3}=a^2\sqrt{3} \quad\bigg/:\sqrt{3} \\
a^2=36 \\
a=6 \quad\lor\quad a=-6$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo długość boku nie może być ujemna. Zostaje nam zatem \(a=6\).

Krok 3. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Wysokość graniastosłupa jest jednocześnie wysokością ściany bocznej. O tej ścianie bocznej wiemy, że jest prostokątem o polu powierzchni \(9\sqrt{3}\) (bo jest to takie samo pole co pole podstawy). Skoro więc znamy miarę jednego boku tego prostokąta \(a=6\), to druga wysokość (będąca jednocześnie wysokością graniastosłupa) jest już bardzo prosta do policzenia:
$$P=a\cdot h \\
9\sqrt{3}=6\cdot h \\
h=\frac{3}{2}\sqrt{3}$$

Krok 4. Obliczenie objętości graniastosłupa.
Mamy już wszystkie potrzebne dane do obliczenia objętości, zatem:
$$V=P_{p}\cdot h \\
V=9\sqrt{3}\cdot\frac{3}{2}\sqrt{3} \\
V=\frac{27}{2}\cdot3 \\
V=\frac{81}{2}$$

Odpowiedź

\(V=\frac{81}{2}\)

Dodaj komentarz