Dany jest czworokąt ABCD, w którym AB||CD. Na boku BC wybrano taki punkt E

Dany jest czworokąt $ABCD$, w którym $AB||CD$. Na boku $BC$ wybrano taki punkt $E$, że $|EC|=|CD|$ i $|EB|=|BA|$. Wykaż, że kąt $AED$ jest prosty.

Rozwiązanie:

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.

Skoro podstawy tego czworokąta są równoległe to otrzymamy tak naprawdę trapez. Zadanie można udowodnić na wiele sposobów, ale najprostszy wykorzystuje informację, że suma miar kątów przy jednym ramieniu trapezu jest równa $180°$. To oznacza, że jeśli $|\sphericalangle ABC|=α$ to $|\sphericalangle BCD|=180°-α$ i tak też zaznaczmy sobie na naszym szkicowym rysunku:

Dodatkowo na niebiesko i zielono zaznaczyliśmy sobie pary boków równej długości (zgodnie z treścią zadania).

Krok 2. Obliczenie miar kątów $BEA$ oraz $CED$.

Rozpatrzmy sobie teraz dwa trójkąty – $ABE$ oraz $DCE$. Suma kątów w każdym z tych trójkątów jest równa oczywiście $180°$. Dodatkowo z treści zadania i z rysunku pomocniczego wynika, że są to trójkąty równoramienne, bo $|EC|=|CD|$ i $|EB|=|BA|$. Skoro tak, to z własności trójkątów równoramiennych wiemy, że kąty przy podstawach mają tą samą miarę, a więc:
$$|\sphericalangle BAE|=|\sphericalangle BEA| \\
\text{oraz} \\
|\sphericalangle CDE|=|\sphericalangle CED|$$

Co to oznacza? Jeśli w trójkącie $ABE$ jeden kąt między ramionami ma miarę $α$, to dwa pozostałe przy podstawie $|AE|$ mają łącznie $180°-α$. Skoro te dwa pozostałe kąty muszą być sobie równe, to $|\sphericalangle BEA|=\frac{180°-α}{2}$.

Analogicznie rozpatrzymy trójkąt $DCE$. Tutaj jeden kąt między ramionami ma miarę $180°-α$, więc dwa pozostałe przy podstawie $|DE|$ mają $180°-(180°-α)=α$. Skoro te dwa pozostałe kąty muszą być sobie równe sobie równe to $|\sphericalangle CED|=\frac{α}{2}$.

Krok 3. Obliczenie miary kąta $AED$.

Z twierdzenia o kątach przyległych wiemy, że:
$$|\sphericalangle BEA|+|\sphericalangle CED|+|\sphericalangle AED|=180°$$

Znamy wartości dwóch z tych kątów (wyliczyliśmy je w drugim kroku), więc bez problemu wyliczymy teraz wartość kąta $AED$.
$$\frac{180°-α}{2}+\frac{α}{2}+|\sphericalangle AED|=180° \quad\bigg/\cdot 2 \\
180°-α+α+2\cdot |\sphericalangle AED|=360° \\
2\cdot |\sphericalangle AED|=180° \\
|\sphericalangle AED|=90°$$

Odpowiedź:

Udowodniono korzystając z różnych własności kątów w figurach geometrycznych.

Zadania

Dany jest czworokąt ABCD, w którym AB||CD. Na boku BC wybrano taki punkt E

Dany jest czworokąt \(ABCD\), w którym \(AB||CD\). Na boku \(BC\) wybrano taki punkt \(E\), że \(|EC|=|CD|\) i \(|EB|=|BA|\). Wykaż, że kąt \(AED\) jest prosty.