Rozwiązanie
Krok 1. Obliczenie skali podobieństwa.
Skalę podobieństwa obliczymy dzieląc długość najdłuższego boku czworokąta \(KLMN\) przez najdłuższy bok czworokąta \(ABCD\). W związku z tym:
$$k=\frac{24\sqrt{3}}{6\sqrt{6}}$$
Największa trudność polega jednak na odpowiednim skróceniu licznika z mianownikiem. W tym przypadku najprościej będzie rozbić \(\sqrt{6}\) na iloczyn \(\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}\), dzięki czemu otrzymamy:
$$k=\frac{24\sqrt{3}}{6\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}} \\
k=\frac{4}{\sqrt{2}} \\
k=\frac{4\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \\
k=\frac{4\sqrt{2}}{2} \\
k=2\sqrt{2}$$
Krok 2. Obliczenie obwodu czworokąta \(ABCD\).
Obwód czworokąta \(ABCD\) jest równy:
$$Obw_{ABCD}=3\sqrt{6}+4\sqrt{6}+5\sqrt{6}+6\sqrt{6} \\
Obw_{ABCD}=18\sqrt{6}$$
Krok 3. Obliczenie obwodu czworokąta \(KLMN\).
Skoro skala podobieństwa wynosi \(k=2\sqrt{2}\), to znaczy, że obwód czworokąta \(KLMN\) będzie \(2\sqrt{2}\) razy większy od obwodu czworokąta \(ABCD\). Moglibyśmy zatem zapisać, że:
$$Obw_{KLMN}=2\sqrt{2}\cdot18\sqrt{6} \\
Obw_{KLMN}=36\cdot\sqrt{12}$$
Otrzymany wynik jest oczywiście poprawny, ale możemy jeszcze cały zapis uprościć w następujący sposób:
$$Obw_{KLMN}=36\cdot\sqrt{4\cdot3} \\
Obw_{KLMN}=36\cdot2\sqrt{3} \\
Obw_{KLMN}=72\sqrt{3}$$
