Dany jest ciąg geometryczny \((a_{n})\), w którym \(a_{1}=-\sqrt{2}\), \(a_{2}=2\), \(a_{3}=-2\sqrt{2}\). Dziesiąty wyraz tego ciągu, czyli \(a_{10}\), jest równy:
Aby móc obliczyć wartość dowolnego wyrazu ciągu geometrycznego (w tym także dziesiątego) potrzebujemy znać wartość pierwszego wyrazu oraz iloraz ciągu. Brakuje nam tylko ilorazu, zatem obliczmy go w następujący sposób:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \\
q=\frac{2}{-\sqrt{2}}=\frac{2\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=-\frac{2\sqrt{2}}{2}=-\sqrt{2}$$
Skorzystamy ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego, a skoro interesuje nas poznanie wartości dziesiątego wyrazu to podstawimy do niego \(n=10\):
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1} \\
a_{10}=a_{1}\cdot q^{10-1} \\
a_{10}=-\sqrt{2}\cdot (-\sqrt{2})^{9} \\
a_{10}=(-\sqrt{2})^{1+9} \\
a_{10}=(-\sqrt{2})^{10}$$
Aby pozbyć się minusa i otrzymać dokładny wynik tego potęgowania to najprościej jest chyba zapisać to w następującej formie:
$$a_{10}=((-\sqrt{2})^{2})^{5} \\
a_{10}=2^{5} \\
a_{10}=32$$
A. \(32\)
