Dany jest ciąg geometryczny an, określony dla n≥1. Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie i spełniony jest warunek

Dany jest ciąg geometryczny $a_{n}$ , określony dla $n\ge1$. Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie i spełniony jest warunek $\frac{a_{5}}{a_{3}}=\frac{1}{9}$. Iloraz tego ciągu jest równy:

A. $\frac{1}{3}$

B. $\frac{1}{\sqrt{3}}$

C. $3$

D. $\sqrt{3}$

Rozwiązanie

Do zadania możemy podejść na wiele różnych sposobów (dojdziemy nawet do poprawnej odpowiedzi, kiedy założymy sobie że trzeci wyraz jest równy $9$, a piąty jest równy $1$, choć w rzeczywistości tak wcale być nie musi).

Najlepszym sposobem będzie rozpisanie sobie lewej strony równania w ten sposób:
$$\frac{a_{5}}{a_{3}}=\frac{a_{3}\cdot q^2}{a_{3}}=q^2$$

Z treści zadania wynika, że to co nam wyszło musi być równe $\frac{1}{9}$, zatem:
$$q^2=\frac{1}{9} \\
q=\frac{1}{3} \quad\lor\quad q=-\frac{1}{3}$$

Ujemne rozwiązanie musimy odrzucić, bo gdyby $q$ było ujemne to nasz ciąg nie miałby wszystkich wyrazów dodatnich. W związku z tym $q=\frac{1}{3}$.

Zadania

Dany jest ciąg geometryczny an, określony dla n≥1. Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie i spełniony jest warunek

Dany jest ciąg geometryczny \(a_{n}\) , określony dla \(n\ge1\). Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie i spełniony jest warunek \(\frac{a_{5}}{a_{3}}=\frac{1}{9}\). Iloraz tego ciągu jest równy:

Rozwiązanie

Odpowiedź