Dany jest ciąg geometryczny (an), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1

Dany jest ciąg geometryczny $(a_{n})$, określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge1$. Drugi wyraz tego ciągu oraz iloraz ciągu $(a_{n})$ są równe $2$. Suma pięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa:

A. $1$

B. $11$

C. $21$

D. $31$

Rozwiązanie

Krok 1. Wyznaczenie wartości pierwszego wyrazu.
Z treści zadania wynika, że $a_{2}=2$ oraz $q=2$. To oznacza, że pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:
$$a_{1}=a_{2}:q \\
a_{1}=2:2 \\
a_{1}=1$$

Krok 2. Obliczenie sumy pięciu początkowych wyrazów ciągu.
Korzystając ze wzoru na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu geometrycznego możemy zapisać, że:
$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q} \\
S_{5}=1\cdot\frac{1-2^{5}}{1-2} \\
S_{5}=1\cdot\frac{1-32}{-1} \\
S_{5}=1\cdot\frac{-31}{-1} \\
S_{5}=1\cdot31 \\
S_{5}=31$$

Odpowiedź

Zadania

Dany jest ciąg geometryczny (an), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1

Dany jest ciąg geometryczny \((a_{n})\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Drugi wyraz tego ciągu oraz iloraz ciągu \((a_{n})\) są równe \(2\). Suma pięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa: