Dany jest ciąg geometryczny (an), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1. W tym ciągu a1=-5, a2=15, a3-45

Dany jest ciąg geometryczny \((a_{n})\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). W tym ciągu \(a_{1}=-5, a_{2}=15, a_{3}-45\).



Zaznacz dwie odpowiedzi tak, aby dla każdej z nich dokończenie poniższego zdania było prawdziwe.



Wzór ogólny ciągu \((a_{n})\) ma postać:

Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego.
Znając wartości dwóch pierwszych wyrazów, możemy obliczyć iloraz ciągu geometrycznego:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \\
q=\frac{15}{-5} \\
q=-3$$

Krok 2. Wyznaczenie wzoru ciągu geometrycznego.
Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego i podstawiając do niego znane nam dane, możemy zapisać, że:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1} \\
a_{n}=-5\cdot(-3)^{n-1}$$

W ten oto sposób otrzymaliśmy wzór ciągu, który znajduje się w odpowiedzi A. To jednak nie koniec zadania, ponieważ musimy wybrać jeszcze jedną poprawną odpowiedź. W tym celu trzeba delikatnie przekształcić nasz zapis, w następujący sposób:
$$a_{n}=-5\cdot(-3)^{n-1} \\
a_{n}=-5\cdot(-3)^{n}\cdot(-3)^{-1} \\
a_{n}=-5\cdot(-3)^{n}\cdot(-\frac{1}{3}) \\
a_{n}=\frac{5}{3}\cdot(-3)^{n} \\
a_{n}=5\cdot\frac{(-3)^{n}}{3}$$

To oznacza, że poprawnym zapisem będzie także ten, który znalazł się w odpowiedzi E.

Odpowiedź

E

0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments