Dany jest ciąg arytmetyczny an określony dla n≥1, w którym a5=22 oraz a10=47. Oblicz pierwszy wyraz

Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) określony dla \(n\ge1\), w którym \(a_{5}=22\) oraz \(a_{10}=47\). Oblicz pierwszy wyraz \(a_{1}\) i różnicę \(r\) tego ciągu.

Rozwiązanie:
Krok 1. Rozpisanie wzorów na piąty i dziesiąty wyraz ciągu.

Ze wzoru \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) możemy zapisać, że:
$$a_{5}=a_{1}+(5-1)r \\
a_{5}=a_{1}+4r \\
\\
a_{10}=a_{1}+(10-1)r \\
a_{10}=a_{1}+9r$$

Krok 2. Stworzenie i rozwiązanie układu równań oraz wyznaczenie wartości różnicy ciągu.

Zgodnie z treścią zadania:
\begin{cases}
a_{1}+4r=22 \\
a_{1}+9r=47
\end{cases}

Ten układ równań możemy rozwiązać w dowolnie wybrany sposób, ale najprościej będzie po prostu zastosować tutaj odejmowanie stronami, dzięki czemu otrzymamy:
$$4r-9r=22-47 \\
-5r=-25 \\
r=5$$

Krok 3. Wyznaczenie wartości pierwszego wyrazu.

Podstawiając wyznaczoną przed chwilą różnicę ciągu do wzoru na piąty wyraz ciągu, wyznaczymy wartość pierwszego wyrazu.
$$a_{5}=a_{1}+4r \\
22=a_{1}+4\cdot5 \\
22=a_{1}+20 \\
a_{1}=2$$

Odpowiedź:

\(a_{1}=2\) oraz \(r=5\)

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.