Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) określony dla \(n\ge1\), w którym \(a_{5}=22\) oraz \(a_{10}=47\). Oblicz pierwszy wyraz \(a_{1}\) i różnicę \(r\) tego ciągu.
Rozwiązanie:
Krok 1. Rozpisanie wzorów na piąty i dziesiąty wyraz ciągu.
Ze wzoru \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) możemy zapisać, że:
$$a_{5}=a_{1}+(5-1)r \\
a_{5}=a_{1}+4r \\
\\
a_{10}=a_{1}+(10-1)r \\
a_{10}=a_{1}+9r$$
Krok 2. Stworzenie i rozwiązanie układu równań oraz wyznaczenie wartości różnicy ciągu.
Zgodnie z treścią zadania:
\begin{cases}
a_{1}+4r=22 \\
a_{1}+9r=47
\end{cases}
Ten układ równań możemy rozwiązać w dowolnie wybrany sposób, ale najprościej będzie po prostu zastosować tutaj odejmowanie stronami, dzięki czemu otrzymamy:
$$4r-9r=22-47 \\
-5r=-25 \\
r=5$$
Krok 3. Wyznaczenie wartości pierwszego wyrazu.
Podstawiając wyznaczoną przed chwilą różnicę ciągu do wzoru na piąty wyraz ciągu, wyznaczymy wartość pierwszego wyrazu.
$$a_{5}=a_{1}+4r \\
22=a_{1}+4\cdot5 \\
22=a_{1}+20 \\
a_{1}=2$$
Odpowiedź:
\(a_{1}=2\) oraz \(r=5\)
Fajnie wytłumaczone
Jednak jak byś mógł/mogła mi wytłumaczyć jak obliczyć to zadanie innymi sposobami bo sama próbuje to jakoś zrobić i nie wiem jak mam to poprawnie napisać
Zwłaszcza na sumę
Innego sposobu za bardzo nie ma ;) Po prostu idea całego zadania opiera się na tym, że wartość piątego wyrazu rozpisujemy jako a1+4r, natomiast wartość dziesiątego wyrazu jako a1+9r. Później to już są tylko obliczenia rachunkowe ;)
a5 = 22 a10 = 47 Szukamy a1 oraz r Ciąg arytmetyczny ma stałą wartość r Ciąg arytmetyczny powstaje tak: a2 = a1 + r a3 = a1 + 2r a4 = a1 + 3r a5 = a1 + 4r Z tego wniosek, że r=5, bo a5 = 22 a6 = 22 + 5 = 27 a7 = 27 + 5 = 32 a8 = 32 + 5 = 37 a9 = 37 + 5 = 42 a10 = 42 + 5 = 47 Mając już nasze r=5 podstawiamy do wzoru na n’ty wyraz ciągu to co mamy – ja… Czytaj więcej »
Uważam ze jest prostszy sposób :D
liczymy różnice r=a10-a5/5=44-22/5=25/5=5
następnie odejmujemy od wyrazu a5 20 (ponieważ a1 i a5 dzielą 4 wyrazy czyli 4*5=20)
i mamy koniec zadania
W gruncie rzeczy to wszystko sprowadza się do tego, co jest w początkowym rozwiązaniu :) Różnica polega tylko na tym, że ja rozpisałem to nieco ładniej, tak abyście zrozumieli jak takie rzeczy się oblicza. Nie mniej jednak faktycznie można to wszystko policzyć niemalże w pamięci.