Dany jest ciąg arytmetyczny an określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, w którym a1+a2+a3+a4=2016

Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\), w którym \(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=2016\) oraz \(a_{5}+a_{6}+a_{7}+…+a_{12}=2016\). Oblicz pierwszy wyraz, różnicę oraz najmniejszy dodatni wyraz ciągu \((a_{n})\).

W tym zadaniu posłużymy się wzorem na sumę \(n\)-tych wyrazów ciągu arytmetycznego.
$$S_{n}=\frac{2\cdot a_{1}+(n-1)\cdot r}{2}\cdot n$$

Pod wypisany przed chwilą wzór podstawmy dane z zadania, tworząc z nich układ równań:
\begin{cases}
S_{4}=2016 \\
S_{12}=2016+2016
\end{cases}

Ustalmy skąd wiemy, że \(S_{12}=2016+2016\). Z treści zadania wynika, że suma pierwszych czterech wyrazów jest równa \(2016\) i suma od piątego do dwunastego wyrazu jest także równa \(2016\). Suma wszystkich dwunastu pierwszych wyrazów jest więc równa \(2016+2016=4032\).

\begin{cases}
2016=\frac{2\cdot a_{1}+(4-1)\cdot r}{2}\cdot4 \\
4032=\frac{2\cdot a_{1}+(12-1)\cdot r}{2}\cdot12
\end{cases}\begin{cases}
2016=\frac{2\cdot a_{1}+3r}{2}\cdot4 \\
4032=\frac{2\cdot a_{1}+11r}{2}\cdot12
\end{cases}\begin{cases}
2016=4\cdot a_{1}+6r \quad\bigg/\cdot(-3) \\
4032=12\cdot a_{1}+66r
\end{cases}\begin{cases}
-6048=-12\cdot a_{1}-18r \\
4032=12\cdot a_{1}+66r
\end{cases}

Dzięki sprytnemu mnożeniu przez \(-3\) pierwszego równania w tym układzie możemy teraz dodać te równania stronami. Oczywiście do rozwiązania tego układu można było też użyć metody podstawiania. Po dodaniu od siebie stron otrzymamy:
$$-2016=48r \\
r=-42$$

Podstawiając \(r=-42\) do jednego z równań wyznaczymy wartość \(a_{1}\):
$$2016=4\cdot a_{1}+6r \\
2016=4\cdot a_{1}+6\cdot(-42) \\
2016=4\cdot a_{1}-252 \\
2268=4\cdot a_{1} \\
a_{1}=567$$

Znając różnicę ciągu arytmetycznego oraz wartość pierwszego wyrazu możemy utworzyć prostą nierówność w której użyjemy wzory na \(n\)-ty wyraz ciągu. Dzięki niej dowiemy się ile wyrazów dodatnich ma ten ciąg, a ostatni wyraz będzie jednocześnie tym najmniejszym (bo skoro różnica wyszła ujemna to jest to ciąg malejący).
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r$$

Zatem:
$$a_{1}+(n-1)\cdot r\gt0 \\
567+(n-1)\cdot(-42)\gt0 \\
567+(-42n+42)\gt0 \\
609-42n\gt0 \\
-42n\gt-609 \\
n\lt14\frac{1}{2}$$

(Pamiętaj o zmianie znaku podczas dzielenia przez liczbę ujemną!)

Skoro \(n\) musi być mniejsze od \(14\frac{1}{2}\), to nasz ciąg ma \(14\) dodatnich wyrazów, a ostatnim (i tym samym najmniejszym) dodatnim wyrazem tego malejącego ciągu będzie \(a_{14}\).

Wartość najmniejszego wyrazu tego ciągu jest równa:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r \\
a_{14}=567+(14-1)\cdot(-42) \\
a_{14}=567+13\cdot(-42) \\
a_{14}=567-546 \\
a_{14}=21$$

\(a_{1}=567\), \(r=-42\) oraz \(a_{14}=21\)