Dany jest ciąg arytmetyczny an o różnicy r≠0 i pierwszym wyrazie a1=2. Pierwszy, drugi i czwarty wyraz tego ciągu

Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) o różnicy \(r\neq0\) i pierwszym wyrazie \(a_{1}=2\). Pierwszy, drugi i czwarty wyraz tego ciągu są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. Oblicz iloraz tego ciągu geometrycznego.

Rozwiązanie

Krok 1. Zapisanie kilku początkowych wyrazów ciagu arytmetycznego i geometrycznego.
Skoro pierwszy wyraz jest równy \(2\), to nasz ciąg przy różnicy \(r\) będzie wyglądał następująco:
$$2,\;2+r,\;2+2r,\;2+3r...$$

Z treści zadania wynika, że pierwszy, drugi i czwarty wyraz tego ciągu arytmetycznego tworzą ciąg geometryczny, czyli nasz ciąg geometryczny wyglądać będzie w ten sposób:
$$2,\;2+r,\;2+3r$$

Krok 2. Obliczenie wartości różnicy ciągu arytmetycznego.
Z własności ciągów geometrycznych wynika, że dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego zachodzi równość:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

Podstawiając do tego równania odpowiednie wyrazy otrzymamy:
$$(2+r)^2=2\cdot(2+3r) \\
4+4r+r^2=4+6r \\
r^2-2r=0 \\
r(r-2)=0 \\
r=0 \quad\lor\quad r-2=0 \\
r=0 \quad\lor\quad r=2$$

Z założeń z treści zadania wynika, że \(r\neq0\). W związku z tym jedynym interesującym nas rozwiązaniem jest \(r=2\).

Krok 3. Zapisanie wyrazów ciągu geometrycznego.
Nasz ciąg geometryczny ma postać:
$$2,\;2+r,\;2+3r$$

Skoro \(r=2\), to znaczy że nasz ciąg geometryczny wygląda następująco:
$$2,\;4,\;8$$

Krok 4. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego.
Iloraz ciągu geometrycznego obliczymy w następujący sposób:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \\
q=\frac{4}{2} \\
q=2$$

Odpowiedź

\(q=2\)

Dodaj komentarz