Dany jest ciąg arytmetyczny an dla n≥1, w którym a10=11 oraz a100=111. Wtedy różnica r tego ciągu jest równa

Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) dla \(n\ge1\), w którym \(a_{10}=11\) oraz \(a_{100}=111\). Wtedy różnica \(r\) tego ciągu jest równa:

Rozwiązanie

Korzystając ze wzoru ogólnego na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego, czyli \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) możemy zapisać, że:
$$a_{10}=a_{1}+(10-1)r \\
a_{10}=a_{1}+9r \\
\quad\\
a_{100}=a_{1}+(100-1)r \\
a_{100}=a_{1}+99r$$

To oznacza, że:
$$a_{100}-a_{10}=a_{1}+99r-(a_{1}+9r) \\
a_{100}-a_{10}=a_{1}+99r-a_{1}-9r \\
a_{100}-a_{10}=90r$$

Podstawiając teraz do naszego równania wartości setnego i dziesiątego wyrazu otrzymamy:
$$111-11=90r \\
100=90r \\
r=\frac{100}{90} \\
r=\frac{10}{9}$$

Odpowiedź

C

Dodaj komentarz