Rozwiązanie
Krok 1. Obliczenie wartości \(a_{n+1}\) oraz \(a_{n+2}\).
Chcąc udowodnić, że dany ciąg jest arytmetyczny, możemy skorzystać z własności związanej z trzema kolejnymi wyrazami ciągu, czyli \(a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}\). Oczywiście nie możemy wprost obliczyć wartości \(a_{1}, a_{2}\) oraz \(a_{3}\), bo to nie będzie żaden dowód. Aby przeprowadzić poprawne dowodzenie, musimy obliczyć np. wartości \(a_{n+1}\) oraz \(a_{n+2}\), zatem:
$$a_{n+1}=4(n+1)-9 \\
a_{n+1}=4n+4-9 \\
a_{n+1}=4n-5$$
$$a_{n+2}=4(n+2)-9 \\
a_{n+2}=4n+8-9 \\
a_{n+2}=4n-1$$
Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Mamy wyrażenia opisujące trzy kolejne wyrazy ciągu, czyli \(a_{n}\), \(a_{n+1}\) oraz \(a_{n+2}\). Środkowym z tych trzech wyrazów jest \(a_{n+1}\), zatem:
$$a_{n+1}=\frac{a_{n}+a_{n+2}}{2} \\
4n-5=\frac{4n-9+4n-1}{2} \\
4n-5=\frac{8n-10}{2} \\
4n-5=4n-5 \\
L=P$$
W ten sposób udało się udowodnić, że ciąg \((a_{n})\) jest arytmetyczny.
