Dany jest ciąg (an) określony wzorem an=7^n/21 dla każdej liczby naturalnej n≥1

A

Wartość pięćdziesiątego wyrazu możemy obliczyć podstawiając do wzoru ciągu \(n=50\), zatem:
$$a_{50}=\frac{7^{50}}{21}$$

Takiej odpowiedzi jednak nie mamy wśród proponowanych. Musimy więc jeszcze przekształcić podany zapis. Patrząc na odpowiedzi widzimy, że dążymy do tego, aby w mianowniku ułamka znalazła się liczba \(3\), zatem:
$$a_{50}=\frac{7\cdot7^{49}}{7\cdot3} \\
a_{50}=\frac{7^{49}}{3}$$

1) PRAWDA

2) FAŁSZ

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Już po samym wzorze widać wyraźnie, że jest to ciąg geometryczny, ale, jeśli chcemy się dokładnie upewnić, to nie pozostaje nam nic innego jak obliczyć wartość \(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\), zatem:
$$\frac{\frac{7^{n+1}}{21}}{\frac{7^n}{21}}=\frac{\frac{7^{n}\cdot7}{21}}{\frac{7^n}{21}}=\frac{7^{n}\cdot7}{21}\cdot\frac{21}{7^n}=7$$

Otrzymany wynik oznacza, że jest to ciąg geometryczny, w którym \(q=7\). Zdanie jest więc prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na sumę \(n\)-początkowych wyrazów ciągu, czyli:
$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q}$$

Ustaliliśmy już, że \(q=7\), więc obliczmy jeszcze wartość \(a_{1}\), zatem:
$$a_{1}=\frac{7^1}{21} \\
a_{1}=\frac{7}{21} \\
a_{1}=\frac{1}{3}$$

Skoro tak, to suma trzech początkowych wyrazów tego ciągu będzie równa:
$$S_{3}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1-7^3}{1-7} \\
S_{3}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1-343}{-6} \\
S_{3}=\frac{1}{3}\cdot\frac{-342}{-6} \\
S_{3}=\frac{1}{3}\cdot\frac{-342}{-6} \\
S_{3}=\frac{1}{3}\cdot57 \\
S_{3}=19$$

Zdanie jest więc fałszem.