Dany jest ciąg (an) określony wzorem an=3n-1 dla każdej liczby naturalnej n≥1

A. 3

Już po samym wzorze widać, że jest to ciąg rosnący, ponieważ mamy klasyczny wzór ciągu arytmetycznego, a liczba stojąca przed \(n\) to różnica ciągu, czyli tutaj \(r=3\). Możemy jednak standardowo ustalić monotoniczność, tak jak jest to wskazane w sugerowanych odpowiedziach, czyli obliczając różnicę \(a_{n+1}-a_{n}\). Skoro tak, to:
$$a_{n+1}-a_{n}=3(n+1)-1-(3n-1)=3n+3-1-3n+1=3$$

Otrzymaliśmy dodatni wynik, a to oznacza, że ciąg jest rosnący, ponieważ \(a_{n+1}-a_{n}=3\).

B

Chcemy sprawdzić kiedy wartość wyrazów tego ciągu jest większa od \(25\), czyli musimy sprawdzić kiedy \(3n-1\) jest większe od \(25\). Zatem:
$$3n-1\gt25 \\
3n\gt26 \\
n\gt8\frac{2}{3}$$

W ciągach \(n\) musi być liczbą naturalną, a najmniejszą liczbą naturalną od \(8\frac{2}{3}\) jest \(9\).

A

Krok 1. Podstawienie danych do wzoru na sumę \(n\)-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.
Wiemy już, że nasz ciąg jest arytmetyczny, a skoro tak, to możemy w tym zadaniu skorzystać ze wzoru na sumę \(n\)-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$

Do tego wzoru potrzebujemy podstawić \(r\) i ustaliliśmy już, że \(r=3\). Oprócz tego musimy obliczyć jeszcze \(a_{1}\), zatem podstawiając do wzoru \(n=1\), otrzymamy:
$$a_{1}=3\cdot1-1 \\
a_{1}=3-1 \\
a_{1}=2$$

To oznacza, że:
$$57=\frac{2\cdot2+(n-1)\cdot3}{2}\cdot n \\
57=\frac{4+3n-3}{2}\cdot n \\
57=\frac{3n+1}{2}\cdot n \\
114=(3n+1)\cdot n \\
114=3n^2+n \\
3n^2+n-114=0$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam do rozwiązania równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam delta:
Współczynniki: \(a=3,\;b=1,\;c=-114\)
$$Δ=b^2-4ac=1^2-4\cdot3\cdot(-114)=1-(-1368) \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{1369}=37$$

$$n_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-1-37}{2\cdot3}=\frac{-38}{6}=-6\frac{1}{3} \\
n_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-1+37}{2\cdot3}=\frac{36}{6}=6$$

W ciągach \(n\) musi być liczbą naturalną, zatem zostaje nam jedynie \(n=6\) i taka też będzie odpowiedź do tego zadania.