Wyjaśnienie:
Krok 1. Podstawienie danych do wzoru na sumę \(n\)-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.
Wiemy już, że nasz ciąg jest arytmetyczny, a skoro tak, to możemy w tym zadaniu skorzystać ze wzoru na sumę \(n\)-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$
Do tego wzoru potrzebujemy podstawić \(r\) i ustaliliśmy już, że \(r=3\). Oprócz tego musimy obliczyć jeszcze \(a_{1}\), zatem podstawiając do wzoru \(n=1\), otrzymamy:
$$a_{1}=3\cdot1-1 \\
a_{1}=3-1 \\
a_{1}=2$$
To oznacza, że:
$$57=\frac{2\cdot2+(n-1)\cdot3}{2}\cdot n \\
57=\frac{4+3n-3}{2}\cdot n \\
57=\frac{3n+1}{2}\cdot n \\
114=(3n+1)\cdot n \\
114=3n^2+n \\
3n^2+n-114=0$$
Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam do rozwiązania równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam delta:
Współczynniki: \(a=3,\;b=1,\;c=-114\)
$$Δ=b^2-4ac=1^2-4\cdot3\cdot(-114)=1-(-1368) \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{1369}=37$$
$$n_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-1-37}{2\cdot3}=\frac{-38}{6}=-6\frac{1}{3} \\
n_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-1+37}{2\cdot3}=\frac{36}{6}=6$$
W ciągach \(n\) musi być liczbą naturalną, zatem zostaje nam jedynie \(n=6\) i taka też będzie odpowiedź do tego zadania.